Bài tập trắc nghiệm môn Đại số Lớp 10 - Chương 1 - Bài 1: Mệnh đề và mệnh đề chứa biến (Kèm đáp án)

Nội dung text: Bài tập trắc nghiệm môn Đại số Lớp 10 - Chương 1 - Bài 1: Mệnh đề và mệnh đề chứa biến (Kèm đáp án)

1. Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG MỆNH ĐỀ-MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN §1. MỆNH ĐỀ VÀ MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN A. TÓM TẮT SÁCH GIÁO KHOA 1. Định nghĩa: Mệnh đề là một câu khẳng định Đúng hoặc Sai. Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai. 2. Mệnh đề phủ định: Cho mệnh đề P. Mệnh đề “Không phải P” gọi là mệnh đề phủ định của P. Kí hiệu là P . Nếu P đúng thì P sai, nếu P sai thì P đúng. 3. Mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo: Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo. Kí hiệu là P Q. Khi đó mệnh đề Q P được gọi là mệnh đề đảo của P Q. 4. Mệnh đề tương đương: Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q” được gọi là mệnh đề tương đương. Kí hiệu là P Q. Mệnh đề P Q đúng khi cả hai mệnh đề P Q và Q P cùng đúng. Chú ý: “Tương đương còn được gọi bằng các thuật ngữ khác như “điều kiện cần và đủ”, “khi và chỉ khi”, “nếu và chỉ nếu”. 5. Mệnh đề chứa biến: Mệnh đề chứa biến là một câu khẳng định chứa biến nhận giá trị trong một tập X nào đó mà với mỗi giá trị của biến thuộc X ta được một mệnh đề. Câu: P (n): “n chia hết cho 5” với n là số tự nhiên. P (x; y): “2x + y = 5” với x, y là số thực. 6. Các kí hiệu , và mệnh đề phủ định của mệnh đề có chứa kí hiệu , . Kí hiệu  : đọc là với mọi;  : đọc là tồn tại. Phủ định của mệnh đề “x X , P(x) ” là mệnh đề “ x X , P(x) ” Phủ định của mệnh đề “ x X , P(x) ” là mệnh đề “x X , P(x) ” B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI: DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH MỆNH ĐỀ VÀ MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN Phương pháp: Muốn xác định được một mệnh đề ta áp dụng định nghĩa sau: 1. Mệnh đề: Mệnh đề là một câu khẳng định Đúng hoặc Sai. Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai. 2. Mệnh đề chứa biến: Mệnh đề chứa biến là một câu khẳng định chứa biến nhận giá trị trong một tập X nào đó mà với mỗi giá trị của biến thuộc X ta được một mệnh đề.  Câu 1. Các câu sau đây, câu nào là mệnh đề, câu nào không phải là mệnh đề? Lưu ý (1) Đi Picnic là niềm yêu thích của tôi! (2) Phương trình x 1 0 có nghiệm (3) 16 không phải là số chẵn. (4) Số 2 có phải là số nguyên hay không? (5) Ấn độ là một trong các nước đông dân nhất thế giới. (6) Tam giác ABC vuông khi nó có một góc vuông. (7) Một tứ giác nội tiếp trong một đường tròn khi tổng hai góc đối bằng 90o Trang -1-
2. Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG MỆNH ĐỀ-MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN Lời giải tham khảo Câu (1) và (4) không là mệnh đề (vì là câu cảm thán, câu hỏi) Câu (2) là một mệnh đề. Vì đó là một khẳng định có tính đúng. Câu (3) là một mệnh đề. Vì đó là một khẳng định có tính sai. Câu (5) là một mệnh đề. Vì đó là một khẳng định có tính đúng. Câu (6) là một mệnh đề. Vì đó là một khẳng định có tính đúng. Câu (7) là một mệnh đề. Vì đó là một khẳng định có tính sai. Câu 2. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề chứa biến? a) a b . b) 3.12. 2 c). x 3x 2 0 d) 2x 1 0 e) 15 là số chính phương. f) 2n 1chia hết cho 3 (với n N ). Lời giải tham khảo Câu (a) không phải là một mệnh đề. Câu (b) là một mệnh đề và không phải là một mệnh đề chứa biến. Câu (c) là một mệnh đề chứa biến. Vì đó là một mệnh đề đúng khi x 1, x 2 .là một mệnh đề sai khi x 1, x 2 1 Câu (d) là một mệnh đề chứa biến. Vì đó là một mệnh đề đúng khi x .là một mệnh 2 1 đề sai khi x . 2 Câu (e) là một mệnh đề và không phải là một mệnh đề chứa biến. Câu (f) là một mệnh đề chứa biến. Vì đó là một mệnh đề đúng khi n 4,7....là một mệnh đề sai khi x 0,1,2,3..... 1.1 Các câu sau đây, câu nào là mệnh đề, câu nào 1.2 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề không phải mệnh đề? chứa biến? a) Không được đi lối này! a) Số 11 là số chẵn. b) Huế là một thành phố của Việt Nam. b) Bây giờ là mấy giờ? c) 2x + 3 là một số nguyên dương. c) Chiến tranh thế giới lần thứ hai kết thúc năm 1946. d) 16 chia 3 dư 1. d) 2 5 0 . e) 4 + x = 3. e) 2018 không là số nguyên tố. f) Phương trình x 1 0 có nghiệm. f) 5 là số vô tỉ. g) Hai đường tròn phân biệt có nhiều nhất hai điểm Lời giải tham khảo chung Lời giải tham khảo Trang -2-
3. Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG MỆNH ĐỀ-MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN DẠNG TOÁN 2: XÉT TÍNH ĐÚNG-SAI CỦA MỘT MỆNH ĐỀ Phương pháp: Một câu khẳng định đúng là mệnh đề đúng, một câu khẳng định sai là mệnh đề sai.  Câu 1. Xét tính Đúng-Sai của các mệnh đề sau: Lưu ý a) Phương trình bậc nhất luôn luôn có nghiệm. b) Tiếp tuyến của một đường tròn chỉ có một điểm chung với đường tròn đó. c) A A a 0 b 0 d) a.b 0 a 0 b 0 Lời giải tham khảo a) là mệnh đề đúng. b) là mệnh đề đúng. A neáu A 0 c) là mệnh đề sai. Vì A -A neáu A 0 d) là mệnh đề đúng. 1.1 Xét tính Đúng-Sai của mệnh đề sau: 1.2 Tìm giá trị x để mệnh đề P : “3x 3 0” là mệnh a) - p < - 2 Û p2 < 4. đề đúng. b) Nếu một tam giác có một góc bằng 60° thì tam Lời giải tham khảo giác đó đều. c) Một tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi chúng có 3 góc vuông. d) Nếu x = y thì t.x = t.y với mọi t. Lời giải tham khảo 1.3 Cho ba mệnh đề sau, với n là số tự nhiên (1) n + 8 là số chính phương. (2) Chữ số tận cùng của n là 4. (3) n -1 là số chính phương. Biết rằng có hai mệnh đề đúng và một mệnh đề sai. Hãy xác định mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai Lời giải tham khảo Trang -3-
4. Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG MỆNH ĐỀ-MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN DẠNG TOÁN 3: PHỦ ĐỊNH MỘT MỆNH ĐỀ. Các phép toán mệnh đề được sử dụng nhằm mục đích kết nối các mệnh lại với nhau tạo ra một mệnh đề mới. Một số các mệnh đề toán là: Mệnh đề phủ định (phép phủ định), mệnh đề kéo theo (phép kéo theo), mệnh đề ảo, mệnh đề tương đương (phép tương đương). 1. Mệnh đề phủ định: Cho mệnh đề P. Mệnh đề “Không phải P” gọi là mệnh đề phủ định của P. Kí hiệu là P . Nếu P đúng thì P sai, nếu P sai thì P đúng. 2. Các kí hiệu , và mệnh đề phủ định của mệnh đề có chứa kí hiệu , . Kí hiệu  : đọc là với mọi;  : đọc là tồn tại. Phủ định của mệnh đề “x X , P(x) ” là mệnh đề “ x X , P(x) ” Phủ định của mệnh đề “ x X , P(x) ” là mệnh đề “x X , P(x) ” Câu 1. Lời giải Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau, cho biết mệnh đề này đúng hay sai? P: “Hình thoi có hai đường chéo vuông góc với nhau” Q: “6 là số nguyên tố” R: “Tổng hai cạnh của một tam giác lớn hơn cạnh còn lại” S: “5 > -3” K: “Phương trình x4 2x2 2 0 có nghiệm” 2 H: “ 3 12 3 ” Câu 2. Xét tính đúng (sai) mệnh đề và phủ Lời giải định các mệnh đề sau: a) x ¡ , x3 x2 1 0 b) x ¡ , x4 x2 1 (x2 3x 1)(x2 3x 1) c) x ¥ ,n2 3 chia hết cho 4 d) q ¤ ,2q2 1 0 e) n ¥ ,n(n 1) là một số chính phương Câu 3. Dùng các kí hiệu để viết các câu sau Lời giải và viết mệnh đề phủ định của nó. a) Tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6 Trang -4-
5. Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG MỆNH ĐỀ-MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN b) Với mọi số thực bình phương của một số là một số không âm c) Có một số nguyên mà bình phương của nó bằng chính nó. d) Có một số hữu tỉ mà nghịch đảo của nó lớn hơn chính nó. Câu 4. Xác định tính đúng sai của mệnh đề Lời giải sau và tìm phủ định của nó: a) A: “x ¡ , x2 0 ” b) B: “Tồn tại số tự nhiên đều là số nguyên tố” c) C: “ x ¥ , x chia hết cho x + 1” d) D: “n ¥ ,n4 n2 1 là hợp số” e) E: “Tồn tại hình thang là hình vuông” f) F: “Tồn tại số thực a sao cho 1 a 1 2 ” a 1 a) Cho mệnh đề P: “Với mọi số Lời giải thực x, nếu x là số hữu tỉ thì 2x là số hữu tỉ”. Dùng kí hiệu P, P và xác định tính đúng –sai của nó. b) Phát biểu MĐ đảo của P và chứng tỏ MĐ đó là đúng. Phát biểu mệnh đề dưới dạng tưng đương. Câu 5. Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh Lời giải đề sau, cho biết mệnh đề này đúng hay sai: P: “Trong tam giác tống ba góc bằng 1800” Q: “ ( 3 27)2 là số nguyên” R: “Việt Nam vô địch Worldcup năm 2020” 5 S: “ 2 ” 2 K: “Bất phương trình x2013 > 2030 vô nghiệm” Trang -5-
6. Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG MỆNH ĐỀ-MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN DẠNG TOÁN 4: MỆNH ĐỀ KÉO THEO, MỆNH ĐỀ ĐẢO, MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG. 1. Mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo: Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo. Kí hiệu là P Q. Khi đó mệnh đề Q P được gọi là mệnh đề đảo của P Q. 2. Mệnh đề tương đương: Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q” được gọi là mệnh đề tương đương. Kí hiệu là P Q. Mệnh đề P Q đúng khi cả hai mệnh đề P Q và Q P cùng đúng. Chú ý: “Tương đương còn được gọi bằng các thuật ngữ khác như “điều kiện cần và đủ”, “khi và chỉ khi”, “nếu và chỉ nếu”. Lời giải Câu 6. Phát biểu mệnh đề P Q và phát biểu mệnh đề đảo, xét tính đúng sai của nó. a) P: “Tứ giác ABCD là hình thoi” và Q: “Tứ giác ABCD, AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường” b) P: “2 > 9” và Q: “4 < 3” c) P: “Tam giác ABC vuông cân tại A” và Q: “Tam giác ABC có Aˆ 2Bˆ ” d) P: “Ngày 2 tháng 9 là ngày Quốc Khánh của nước Việt Nam” và Q: “Ngày 27 tháng 7 là ngày thương binh liệt sĩ” Lời giải Câu 7. Phát biểu mệnh đề P Q bằng hai cách và xét tính đúng sai của nó a) P: “Tứ giác ABCD là hình thoi” và Q: “Tứ giác ABCD là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau”. b) P: “Bất phương trình x2 3x 1” có nghiệm và Q: “ ( 1)2 3.( 1) 1” Lời giải Câu 8. Phát biểu mệnh đề P Q và phát biểu mệnh đề đảo, xét tính đúng sai của nó a) P: “Tứ giác ABCD là hình chữ nhật” và Q: “Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau”. Trang -6-
7. Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG MỆNH ĐỀ-MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN b) P: “ 3 2 ” và Q: “ ( 3)3 ( 2)3 ” c) P: “Hai tam giác ABC có Aˆ Bˆ Cˆ ” và Q: “Tam giác ABC có BC2 = AB2 + AC2” d) P: “Tố Hữu là nhà Toán học lớn nhất của Việt Nam” và Q: “Évariste và Galois là nhà Thơ lỗi lạc của thế giới”. Lời giải Câu 9. Phát biểu mệnh đề P Q bằng hai cách và xét tính đúng sai của nó a) Cho tứ giác ABCD. Xét hai mệnh đề P: “Tứ giác ABCD là hình vuông” Q: “Tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau” b) P: “Bất phương trình x2 3x 1 0 có nghiệm” và Q: “Bất phương trình x2 3x 1 0 vô nghiệm” Câu 10. Cho hai mệnh đề: Lời giải A: “Nếu ΔABC đều có cạnh bằng a, a 3 đường cao là h thì h ”; 2 B: “Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình vuông”; C: “15 là số nguyên tố” D: “ 125 là một số nguyên”. a) Hãy cho biết trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai: A B, A D, B C. b) Hãy cho biết trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai: A B, B C, B D. Trang -7-
8. Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG MỆNH ĐỀ-MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN Câu 11. Hãy phát biểu mệnh đề kéo theo P Lời giải Q, Q P và xét tính đúng sai của mệnh đề này. a) Cho tứ giác ABCD và hai mệnh đề: P: “Tổng 2 góc đối diện của tứ giác lồi bằng 1800” và Q: “Tứ giác nội tiếp được đường tròn”. b) P: “ 2 3 1” và Q: “ ( 2 3)2 ( 1)2 ” Câu 12. Cho số tự nhiên n, xét hai mệnh đề Lời giải chưa biến: A(n): “n là số chẵn” B(n): “n2 là số chẵn” a) Hãy phát biểu mệnh đề A(n) B(n) . Cho biết mệnh đề này đúng hay sai? b) Hãy phát biểu mệnh đề “ n ¥ , B(n) A(n) ”. c) Hãy phát biểu mệnh đề “ n ¥ , A(n) B(n) ”. DẠNG TOÁN 5: ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO SUY LUẬN TOÁN HỌC A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1. Định lí và chứng minh định lí: ✓ Trong Toán học, định lí là một mệnh đề đúng. Nhiều định lí được phát biểu dưới dạng: "x X , P(x) Q(x)", P(x), Q(x) là các mệnh đề chứa biến ✓ Có 2 cách để chứng minh định lí dưới dạng trên Cách 1: Chứng minh trực tiếp gồm các bước sau: - Lấy x X bất kỳ mà P(x) đúng. - Chứng minh Q(x) đúng bằng suy luận và kiến thức Toán học đã biết. Cách 2: Chứng minh bằng phản định lí gồm các bước sau: - Giả sử tồn tại x0 X sao cho P(x0) đúng là Q(x0) sai - Dùng suy luận và các kiến thức toán học để đi đến mâu thuẫn. 2. Định lí đảo, điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ: ✓ Cho định lí dưới dạng "x X , P(x) Q(x)" (1). Khi đó P(x) là điều kiện đủ để có Q(x) Q(x) là điều kiện cần đề có P(x) Trang -8-
9. Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG MỆNH ĐỀ-MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN ✓ Mệnh đề "x X ,Q(x) P(x)" đúng thì được gọi là định lí đảo của định lí dạng (1) Lúc đó (1) được gọi là định lí thuận và khi đó có thể gộp lại thành một định lí "x X ,Q(x) P(x)" , ta gọi là P(x) là điều kiện cần và đủ để có Q(x). Ngoài ra còn nói “P(x) nếu và chỉ nếu Q(x)”, “P(x) khi và chỉ khi Q(x)”. B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. DẠNG TOÁN 5.1: PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẰNG PHẢN CHỨNG Câu 13. Chứng minh rằng với mọi số tự Lời giải nhiên n, n3 chia hết cho 3 thì n chia hết cho 3 Câu 14. Cho tam thức f(x) = ax2 + bx + c, a Lời giải 0. Chứng minh rằng nếu tồn tại số thực sao cho a.f( ) ≤ 0 thì phương trình f(x) = 0 luôn có nghiệm. Câu 15. Chứng minh rằng một tam giác có Lời giải đường trung tuyến vừa là phân giác xuất phản từ một đỉnh là tam giác cân tại đỉnh đó. Câu 16. Chứng minh bằng phương pháp Lời giải phản chứng: Nếu phương trình bậc hai: ax2 bx c 0 vô nghiệm thì a và c cùng dấu. Câu 17. Chứng minh bằng phương pháp Lời giải phản chứng: Nếu hai số nguyên dương có tổng bình phương chia hết cho 3 thì cả hai số đó phải chia hết cho 3. Câu 18. Chứng minh rằng: Nếu độ dài các Lời giải cạnh của tam giác thỏa mãn bất đẳng thức a2 + b2 > 5c2 thì c là dộ dài cạnh nhỏ nhất của tam giác. Câu 19. Cho a, b, c dương nhỏ hơn 1. Chứng Lời giải minh rằng ít nhất một trong ba bất Trang -9-
10. Toán trắc nghiệm BÀI GIẢNG MỆNH ĐỀ-MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN 1 đẳng thức sau sai a(1 b) , 4 1 1 b(1 c) , c(1 a) 4 4 Lời giải Câu 20. Nếu a1a1≥2(b1+b2) thì ít nhất một 2 trong hai phương trình x + a1x + b1 2 = 0, x + a2x + b2 = 0 có nghiệm. Lời giải Câu 21. Chứng minh rằng 2 là số vô tỉ. Câu 22. Cho các số a, b, c thỏa mãn các điều Lời giải a b c 0(1) kiện: ab bc ca 0(2) abc 0(3) Chứng minh rằng cả ba số a, b, c đều dương. Câu 23. Chứng minh bằng phản chứng định Lời giải lí sau: “Nếu tam giác ABC có các đường phân giác trong BE, CF bằng nhau thì tam giác ABC cân”. Câu 24. Cho 7 đoạn thẳng có độ dài lớn hơn Lời giải 10 và nhỏ hơn 100. Chứng minh rằng luôn tìm được 3 đoạn để có thể ghép thành một tam giác. DẠNG TOÁN 5.2: SỬ DỤNG THUẬT TOÁN ĐIỀU KIỆN CẦN, ĐIỀU KIỆN ĐỦ, ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ Câu 25. Cho định lí: “Cho số tự nhiên n, nếu Lời giải n5 chia hết cho 5 thì n chia hết cho 5”. Định lí này được viết theo dạng P Q. a) Hãy xác định các mệnh đề P và Q. b) Phát biểu định lí trên bằng cách dung thuật ngữ “điều kiện cần”. Trang -10-