Bài tập ôn tập môn Hình học Lớp 10 - Chương 3 - Bài 3: Đường tròn - Năm học 2020-2021 - Nguyễn Vũ Hoàng Dương

Nội dung text: Bài tập ôn tập môn Hình học Lớp 10 - Chương 3 - Bài 3: Đường tròn - Năm học 2020-2021 - Nguyễn Vũ Hoàng Dương

1. Tốn trắc nghiệm BÀI GIẢNG- ĐƯỜNG TRỊN. NGUYỄN VŨ HỒNG DƯƠNG NGÀY 15/04/2021 §3. ĐƯỜNG TRỊN A. TĨM TẮT SÁCH GIÁO KHOA I. Phương trình đường trịn. • Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường trịn C cĩ tâm I a;b và bán kính R cĩ phương 2 2 trình:(C): (x - a) + (y - b) = R2 (1) • Trường hợp đặc biệt , nếu a 0 và b 0 thì phương trình 1 trở thành x2 y2 R2 . Là phương trình đường trịn cĩ tâm là gốc tọa độ O và bán kính R. • Trong mặt phẳng Oxy , phương trình x2 y2 2ax 2by c 0 2 Với a2 b2 c 0 là phương trình của đường trịn cĩ tâm I a;b bán kính R a2 b2 c . II. Phương trình tiếp tuyến của đường trịn: Oxy d M x ; y I a;b • Trong mặt phẳng tọa dộ , tiếp tiếp tại điểm 0 0; 0 của đường trịn tâm cĩ phương trình là: d : x 0 a x x 0 y0 b y y0 0. • Đường thẳng tiếp xúc đường trịn I;R d I; R. B. CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI: DẠNG TỐN 1: XÁC ĐỊNH TÂM VÀ BÁN KÍNH CỦA ĐƯỜNG TRỊN Phương pháp: • Nếu phương trình đường trịn (C) cĩ dạng: (x a)2 (y b)2 R2 thì (C) cĩ tâm I(a; b) và bán kính R. • Nếu phương trình đường trịn (C) cĩ dạng: x2 y2 2ax 2by c 0 thì – Biến đổi đưa về dạng (x a)2 (y b)2 R2 hoặc – Tâm I(–a; –b), bán kính R = a2 b2 c . Chú ý: Phương trình x2 y2 2ax 2by c 0 là phương trình đường trịn nếu thoả mãn điều kiện: a2 b2 c 0 . Bài 1. Trong các phương trình sau, phương trình Hướng dẫn giải. nào là phương trình đường trịn. Tìm tâm và bán kính của đường trịn đĩ: Trang -1-
2. Tốn trắc nghiệm BÀI GIẢNG- ĐƯỜNG TRỊN. a) x2 y2 2x 8y 1 0 b) x2 y2 6x 5 0 c) 16x2 16y2 16x 8y 11 d) 7x2 7y2 4x 6y 1 0 Bài 2 . Cho phương trình đường bậc hai Cm : Hướng dẫn giải. x2 y2 4mx 2my 2m 3 0 (1) a) Với giá trị nào của m thì (1) là phương trình đường trịn? b) Nếu (1) là phương trình đường trịn, hãy tìm tọa độ tâm và bán kính đường trịn đĩ theo m. c) Tìm tập hợp tâm các đường trịn Cm. Bài 3. Cho họ đường trịn (Cm ) cĩ phương trình Hướng dẫn giải x2 y2 2(m 1)x 2(m 2)y 6m 7 0 ( m là tham số) a) Tìm tâm và bán kính đường trịn thuộc họ đã cho với m=3 b) Tìm tập hợp tâm các đường trịn thuộc họ đã cho. Bài 4. Cho Hướng dẫn giải 2 2 (Cm ) : x y 2mx 2(m 1)y 2m 4 0 a) Chứng minh (Cm) là đường trịn với mọi m b) Viết phương trình (Cm) cĩ bán kính nhỏ nhất c) Chứng minh cĩ hai đường trịn (Cm) tiếp xúc với đường thẳng x+y+5=0. DẠNG TỐN 2: LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN. Phương pháp: Để lập phương trình đường trịn (C) ta thường cần phải xác định tâm I (a; b) và bán kính R của (C). Khi đĩ Trang -2-
3. Tốn trắc nghiệm BÀI GIẢNG- ĐƯỜNG TRỊN. phương trình đường trịn (C) là: (x a)2 (y b)2 R2 Dạng 1: (C) cĩ tâm I và đi qua điểm A. – Bán kính R = IA. Dạng 2: (C) cĩ tâm I và tiếp xúc với đường thẳng . – Bán kính R = d(I, ). Dạng 3: (C) cĩ đường kính AB. – Tâm I là trung điểm của AB. AB – Bán kính R = . 2 Dạng 4: (C) đi qua hai điểm A, B và cĩ tâm I nằm trên đường thẳng . – Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB. – Xác định tâm I là giao điểm của d và . – Bán kính R = IA. Dạng 5: (C) đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng . – Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB. I d – Tâm I của (C) thoả mãn: . d(I, ) IA – Bán kính R = IA. Dạng 6: (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng tại điểm B. – Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB. – Viết phương trình đường thẳng đi qua B và vuơng gĩc với . – Xác định tâm I là giao điểm của d và . – Bán kính R = IA. Dạng 7: (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng 1 và 2. d(I, ) d(I, ) (1) – Tâm I của (C) thoả mãn: 1 2 d(I, 1) IA (2) – Bán kính R = IA. Trang -3-
4. Tốn trắc nghiệm BÀI GIẢNG- ĐƯỜNG TRỊN. Chú ý: – Muốn bỏ dấu GTTĐ trong (1), ta xét dấu miền mặt phẳng định bởi 1 và 2 hay xét dấu khoảng cách đại số từ A đến 1 và 2. 1 – Nếu 1 // 2, ta tính R = d( , ) , và (2) được thay thế bới IA = R. 2 1 2 Dạng 8: (C) tiếp xúc với hai đường thẳng 1, 2 và cĩ tâm nằm trên đường thẳng d. d(I, ) d(I, ) – Tâm I của (C) thoả mãn: 1 2 . I d – Bán kính R = d(I, 1). Dạng 9: (C) đi qua ba điểm khơng thẳng hàng A, B, C (đường trịn ngoại tiếp tam giác). Cách 1: – Phương trình của (C) cĩ dạng: x2 y2 2ax 2by c 0 (*). – Lần lượt thay toạ độ của A, B, C vào (*) ta được hệ phương trình. – Giải hệ phương trình này ta tìm được a, b, c phương trình của (C). IA IB Cách 2: – Tâm I của (C) thoả mãn: . IA IC – Bán kính R = IA = IB = IC. Dạng 10: (C) nội tiếp tam giác ABC. – Viết phương trình của hai đường phân giác trong của hai gĩc trong tam giác – Xác định tâm I là giao điểm của hai đường phân giác trên. – Bán kính R = d(I, AB) . Bài 1: Viết phương trình đường trịn trong các trường hợp Lời giải sau: a) Đi qua các điểm A(-1;3), B(1;-5) và cĩ tâm ở trên trục tung. b) Qua 3 điểm A(0;6), B(4;0), C(3;0) c) Qua điểm A(2;-1) và tiếp xúc với hai trục Ox, Oy d) Cĩ tâm là điểm M(-4;2) và tiếp xúc với đường thẳng cĩ phương trình 3x+4y-16=0 e) Qua hai điểm A(2;3), B(-1;1) và cĩ tâm I(a;b) nằm trên đường thẳng x-3y-11=0. Bài 2: Trong mp Oxy cho hai điểm A(8;0), B(0;6) Lời giải a) Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác OAB b) Viết phương trình đường trịn nội tiếp tam giác OAB Trang -4-
5. Tốn trắc nghiệm BÀI GIẢNG- ĐƯỜNG TRỊN. Bài 3: Cho đường thẳng :3x 4y 31 0 và điểm Lời giải M(1;-7) a) Chứng tỏ điểm M thuộc đường thẳng b) Lập phương trình đường trịn cĩ bán kính bằng R=5 và tiếp xúc với đường thẳng tại điểm M đã cho. Bài 4: Viết phương trình đường trịn trong các trường hợp Lời giải sau: a) Cĩ bán kính bằng 5, tâm thuộc Ox và qua A(2;4) b) Cĩ tâm I(2;-1) và tiếp xúc ngồi với đường trịn (x 5)2 (y 3)2 9 c) Tiếp xúc với hai trục và cĩ tâm nằm trên đường thẳng : 2x y 3 0 d) Qua A(0;2), B(-1;1) và cĩ tâm trên đường thẳng 2x+3y=0 e) Qua A(5;3) và tiếp xúc với đường thẳng d: x+3y+2=0 tại T(1;-1). f) Qua điểm A 1; 2 tiếp xúc với đường thẳng d : 7x y 5 0 tại điểm M 1;2 g) Cĩ tâm thuộc đường thẳng d : x y 1 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng d1;d2 d1 : 2x y 1 0;d2 : 2x y 2 0 h) Bài 5: Cho đường trịn Lời giải C : x2 y2 2x 4y 3 0 . Lập phương trình đường trịn C1 đối xứng với đường trịn C qua đường thẳng d : x 2 0 Bài 5: Cho đường trịn Lời giải C : x2 y2 4x 2y 3 0 . Lập pt đường trịn C1 đối xứng với đường trịn C qua điểm E 1;2 Bài 6: Lập phương trình đường trịn: Trang -5-
6. Tốn trắc nghiệm BÀI GIẢNG- ĐƯỜNG TRỊN. a) Qua A(1;2) và tiếp xúc với hai trục tọa độ b) Tiếp xúc với hai đường thẳng song song : 2x y 3 0, ': 2x y 5 0 và cĩ tâm trên Oy c) Tiếp xúc với đường thẳng : 2x y 5 0 tại điểm T(2;1) và cĩ bán kính bằng 2 5 d) Tiếp xúc với hai đường thẳng x 2y 5 0, x 2y 1 0 và qua gốc O. Bài 7. Cho hai điểm A(8; 0), B(0; 6). Lời giải a) Viết phương trình đường trịn nội tiếp tam giác OAB. b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của OA, AB, OB. Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác MNP. c) Chứng minh rằng hai đường trịn trên tiếp xúc nhau. Tìm toạ độ tiếp điểm. DẠNG TỐN 3: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN, GIỮA HAI ĐƯỜNG TRỊN. Phương pháp. 1. Để xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d: Ax By C 0 và đường trịn (C): x2 y2 2ax 2by c 0 , ta cĩ thể thực hiện như sau:. • Cách 1: So sánh khoảng cách từ tâm I đến d với bán kính R. – Xác định tâm I và bán kính R của (C). – Tính khoảng cách từ I đến d. + d(I,d) R d cắt (C) tại hai điểm phân biệt. + d(I,d) R d tiếp xúc với (C). + d(I,d) R d và (C) khơng cĩ điểm chung. • Cách 2: Toạ độ giao điểm (nếu cĩ) của d và (C) là nghiệm của hệ phương trình: Ax By C 0 2 2 (*) x y 2ax 2by c 0 + Hệ (*) cĩ 2 nghiệm d cắt (C) tại hai điểm phân biệt. Trang -6-
7. Tốn trắc nghiệm BÀI GIẢNG- ĐƯỜNG TRỊN. + Hệ (*) cĩ 1 nghiệm d tiếp xúc với (C). + Hệ (*) vơ nghiệm d và (C) khơng cĩ điểm chung. 2. Để xét vị trí tương đối của hai đường trịn 2 2 2 2 (C1): x y 2a1x 2b1y c1 0, (C2): x y 2a2x 2b2y c2 0 . ta cĩ thể thực hiện như sau: • Cách 1: So sánh độ dài đoạn nối tâm I1I2 với các bán kính R1, R2. + R1 R2 I1I2 R1 R2 (C1) cắt (C2) tại 2 điểm. + I1I2 R1 R2 (C1) tiếp xúc ngồi với (C2). + I1I2 R1 R2 (C1) tiếp xúc trong với (C2). + I1I2 R1 R2 (C1) và (C2) ở ngồi nhau. + I1I2 R1 R2 (C1) và (C2) ở trong nhau. • Cách 2: Toạ độ các giao điểm (nếu cĩ) của (C1) và (C2) là nghiệm của hệ phương trình: x2 y2 2a x 2b y c 0 1 1 1 (*) 2 2 x y 2a2x 2b2y c2 0 + Hệ (*) cĩ hai nghiệm (C1) cắt (C2) tại 2 điểm. + Hệ (*) cĩ một nghiệm (C1) tiếp xúc với (C2). + Hệ (*) vơ nghiệm (C1) và (C2) khơng cĩ điểm chung. 3. Cho đường trịn (C) cĩ tâm I, bán kính R và đường thẳng . tiếp xúc với (C) d(I, ) R • Dạng 1: Tiếp tuyến tại một điểm M (x ; y ) (C). 0 0 0  – đi qua M0(x0; y0 ) và cĩ VTPT IM0 . • Dạng 2: Tiếp tuyến cĩ phương cho trước. – Viết phương trình của cĩ phương cho trước (phương trình chứa tham số t). – Dựa vào điều kiện: d(I, ) R , ta tìm được t. Từ đĩ suy ra phương trình của . • Dạng 3: Tiếp tuyến vẽ từ một điểm A(xA; yA ) ở ngồi đường trịn (C). – Viết phương trình của đi qua A (chứa 2 tham số). – Dựa vào điều kiện: d(I, ) R , ta tìm được các tham số. Từ đĩ suy ra phương trình của . Trang -7-
8. Tốn trắc nghiệm BÀI GIẢNG- ĐƯỜNG TRỊN. Bài 1. Biện luận theo m số giao điểm của đường thẳng d và đường trịn (C), với: a) d : 2x y m 0, (C) : x2 y2 6x 2y 5 0 b) d : x y 1 0, (C) : x2 y2 2(2m 1)x 4y 4 m 0 Lời giải Bài 2. Xét vị trí tương đối của hai đường trịn (C1) và (C2), tìm toạ độ giao điểm, nếu cĩ, với: 2 2 2 2 a) (C1) : x y 4x 6y 4 0, (C2 ) : x y 10x 14y 70 0 2 2 5 5 b)(C ) : x y 6x 3y 0, (C )có tâm I 5; và bán kính R 1 2 2 2 2 2 Lời giải Bài 3. Biện luận số giao điểm của hai đường trịn (C1) và (C2), với: 2 2 2 2 (C1) : x y 4mx 2my 2m 3 0, (C2 ) : x y 4(m 1)x 2my 6m 1 0 Lời giải Trang -8-
9. Tốn trắc nghiệm BÀI GIẢNG- ĐƯỜNG TRỊN. Bài 4: Cho đường trịn C : x2 y2 2x 4y 0 a) Tìm tâm và bán kính của C b) Viết pt tiếp tuyến của C tại điểm A 1;1 c) Viết pt tiếp tuyến của C đi qua điểm B 4;7 d) Viết pt tiếp tuyến của C biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 3x 4y 1 0 e) Viết pt tiếp tuyến của C biết tiếp tuyến vuơng gĩc với đường thẳng 2x y 3 0 Lời giải Bài 5. Cho hai điểm A(1; 2), B(3; 4) và đường thẳng d : y 3 3x . a) Viết phương trình các đường trịn (C1) và (C2) qua A, B và tiếp xúc với d. b) Viết phương trình tiếp tuyến chung (khác d) của hai đường trịn đĩ. Lời giải Bài 6. Cho đường trịn (C): x2 y2 6x 2my m2 4 0 . Trang -9-
10. Tốn trắc nghiệm BÀI GIẢNG- ĐƯỜNG TRỊN. a) Tìm m để từ A(2; 3) cĩ thể kẻ được hai tiếp tuyến với (C). b) Viết phương trình các tiếp tuyến đĩ khi m = 6. Bài 7: Cho đường trịn (C) x2 y2 2x 2y 3 0 a) Tìm độ dài dây cung mà (C) chắn trên trục Ox b) Tìm độ dài tiếp tuyến vẽ từ A(-2;3) đến đường trịn (C) c) Tìm tâm và bán kính đường trịn (C’): x2 y2 6x 6y 13 0 . Chứng minh (C) và (C’) tiếp xúc ngồi tại T. Viết phương trình tiếp tuyến chung tại T. Lời giải Bài 8: Cho đường trịn (C) x2 y2 4x 6y 7 0 a) Điểm M(-1;1) ở trong hay ở ngồi đường trịn? Lập phương trình đường thẳng chứa dây cung qua M và cĩ độ dài ngắn nhất. b) Lập phương trình đường thẳng qua O và cắt (C) theo một dây cung cĩ độ dài là 2. Lời giải Bài 9: Cho đường trịn (C) (x 2)2 (y 1)2 4 a) Tìm trên Oy điểm từ đĩ kẻ được hai tiếp tuyến với (C) và hai tiếp tuyến này vuơng gĩc. b) Tìm trên (C) điểm gần gốc O nhất. Lời giải Trang -10-