3 Đề ôn luyện Học sinh giỏi môn Toán Lớp 8

Nội dung text: 3 Đề ôn luyện Học sinh giỏi môn Toán Lớp 8

1. ĐỀ 1 Bài 1. (2 điểm) 1) Phân tích đa thức thành nhân tử: a2 (b c) b2 (c a) c2 (a b) 2) Cho a,b,c là ba số thực đôi một khác nhau và a + b + c < 0. Chứng minh a3 + b3 + c3 < 3abc Bài 2. ( 2 điểm) x 342 x 323 x 300 x 273 1) Giải phương trình: 10 15 17 19 21 2) Cho ba số x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm giá trị lớn nhất của B = xy + yz + zx Bài 3. (2 điểm) 1) Bảng sau đây thống kê kết quả khảo sát mức độ yêu thích một chương trình giải trí của đài truyền hình tại 5 quận A, B, C, D,E của thành phố X Quận Số người khảo sát Số người thích chương trình giải trí Nam Nữ Nam Nữ A 50 42 15 20 B 45 44 15 13 C 35 61 24 16 D 32 42 10 18 E 40 36 12 8 Tổng số 202 225 76 75 Chọn ngẫu nhiên 800 người ở thành phố X. Ước lượng trong đó có bao nhiêu người thích chương trình giải trí đó? 2) Chọn ngẫu nhiên hai số nguyên dương nhỏ hơn 13. Tính xác suất để hai số được chọn là hai số nguyên tố trong đó có một số chẵn và một số lẻ. Bài 4. ( 3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC). Các đường cao AE, BF cắt nhau tại H. Gọi M trung điểm của BC, qua H vẽ đường thẳng a vuông góc với HM, a cắt AB, AC lần lượt tại I và K. a. Chứng minh ABC đồng dạng EFC. b. Qua C kẻ đường thẳng b song song với đường thẳng IK, b cắt AH, AB theo thứ tự tại N và D. Chứng minh NC = ND và HI = HK. AH BH CH c. Gọi G là giao điểm của CH và AB. Chứng minh: 6 HE HF HG
2. Bài 5. (1 điểm) Cho hình bình hành ABCD, kẻ 17 đường thẳng sao cho mỗi đường thẳng chia ABCD thành hai hình thang có tỉ số diện tích bằng 1/3 . Chứng minh rằng, trong 17 đường thẳng đó có 5 đường thẳng đồng quy. ĐỀ 2 Bài 1.( 2 điểm) a) Phân tích đa thức a2(b c) b2(c a) c2(a b)thành nhân tử. x y z a b c x2 y2 z2 b) Cho 1 và 0 . Chứng minh rằng : 1. a b c x y z a2 b2 c2 Bài 2.( 2 điểm) 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 a) Giải phương trình: 8 x 4 x 2 4 x 2 x x 4 x x x x b) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x y z 3. 1 1 1 3 Chứng minh rằng: x2 x y2 y z2 z 2 Bài 3.( 2 điểm) Cho hình vẽ dưới đây là bản thiết kế thi công tầng 1 của một ngôi nhà hai tầng mái bằng. Biết ·ABC B· AH ·AHG H· GF G· FE F· ED E· DC D· CB 900 ; AB =6BC =18M; DE =6m; GF =4m; EF =7m; GH-DC =4m. Biết giá thiết kế mỗi mét vuông sàn là 120 nghìn đồng ( mỗi tầng có 1 sàn) a) Tính diện tích sàn tầng 1 b) Bác chủ nhà phải trả bao nhiêu tiền để mua bản thiết kế của cả ngôi nhà đó.
3. Bài 4.( 3 điểm) Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE = AF. Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N. a) Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật. b) Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH. Chứng minh rằng: AC = 2EF. 1 1 1 c) Chứng minh rằng: = + . AD2 AM2 AN2 Bài 5.( 1 điểm) Cho17 điểm nằm trong mặt phẳng, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Nối các điểm này lại bằng các đoạn thẳng và tô màu xanh, đỏ hoặc vàng. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có các cạnh cùng màu. Hết đề ĐỀ 3 Câu 1 (2,0 điểm): 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P x2 y z y2 z x z2 x y . 2. Đa thức f x khi chia cho x 1 dư 1 và chia cho x2 1 dư là 3x . Tìm đa thức dư khi f x chia cho x 1 x2 1 . Câu 2 (2,0 điểm): 2 1. Tìm x thỏa mãn x2 1 x x 1 2 0 .
4. 3 3 1 x 1 x 5 1 x 2. Cho biểu thức A x x 2 2 . 1 x 1 x 2 x 1 x x 1 x Tìm giá trị nhỏ nhất của A khi x 3. Câu 3 (2,0 điểm): Bảng thống kê sau cho biết số học sinh đạt học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Khối lớp 6 7 8 9 Số học sinh 16 24 20 25 a. Vẽ biểu đồ cột biểu diễn bảng thống kê trên. b. Hãy tính và vẽ biểu đồ hình quạt tròn biểu diễn tỉ số phần trăm (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) số học sinh đạt giải môn Toán của mỗi khối lớp so với tổng số học sinh đạt giải môn Toán. Câu 4 (3,0 điểm): Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AD, BE,CF và trực tâm H . Gọi M là trung điểm của BC , K là điểm đối xứng với H qua M , I là điểm đối xứng với H qua BC . a. Chứng minh rằng tứ giác BIKC là hình thang cân. b. Kẻ trung trực của đoạn thẳng AC cắt AK tại O . Các đường thẳng AM và HO cắt nhau tại G . Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC . c. Gọi J là giao điểm của EF và AH . Chứng minh rằng: EB là tia phân giác của F·ED và AJ  HD AD  HJ . Câu 5 (1,0 điểm): Lấy 2020 điểm thuộc miền trong của một tứ giác để cùng với 4 đỉnh ta được 2024 điểm , trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Biết diện tích của tứ giác ban đầu là1 cm2 . Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có 3 đỉnh lấy từ 2024 điểm đã cho có diện tích 1 không vượt quá cm2 . 4042