2 Đề thi Học sinh giỏi cấp Huyện năm học 2023-2024 môn Toán 8 (Có đáp án)

Nội dung text: 2 Đề thi Học sinh giỏi cấp Huyện năm học 2023-2024 môn Toán 8 (Có đáp án)

1. Họ và tên GV: SĐT Zalo: (Dùng để liên hệ trao đổi về sản phẩm nộp) Tên Zalo: Email: I. ĐỀ CÁC THẦY CÔ GÕ LẠI CHO ĐÚNG MẪU PHÒNG GD VÀ ĐÀO TẠO . ĐỀ HSG CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2023 -2024 MÔN: TOÁN 8 Thời gian: 120 phút. (Không kể thời gian giao đề) Bài 1. (5 điểm) 3x2 3 x 1 1 2x2 5x 5 Cho biểu thức: A 3 2 : x 1 x x 1 x 1 x 1 1. Rút gọn biểu thức A 1 2. Tìm các giá trị của x để A 2x2 1 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A Bài 2. (4 điểm) 1 1 1 2 1 1. Cho các số x, y, z khác 0 thỏa mãn đồng thời 2 và 4 x y z xy z2 2025 Tính giá trị của biểu thức P x 2y z 2. Tìm các cặp số x; y nguyên thỏa mãn 2x2 2xy 5x y 19 0 Bài 3. (4 điểm) 1. Cho a,b là các số tự nhiên thỏa mãn 4a2 a 5b2 b Chứng minh rằng: a b và 5a 5b 1 đều là các số chính phương b2 1 2. Cho hai số a,b 0 thỏa mãn 2a2 4 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu 4 a2 thức Q ab 2025 Bài 4. (7 điểm) 1. Cho tam giác ABC nhọn, có ·ACB 45; các đường cao AD, BE cắt nhau tại H H BC; E AC . Gọi M ; N lần lượt là trung điểm của AB và CH . Gọi O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC . a) Chứng minh AD.DH BD.DC b) Chứng minh: tứ giác DMEN là hình vuông c) Chứng minh: ba đường thẳng MN, DE,OH đồng quy. 2. Cho hình thoi ABCD có góc ABC 1200 , P là một điểm thuộc cạnh AB P A; B . Gọi N là giao điểm của hai đường thẳng AD và CP ; M là giao điểm của BN và DP . Tính số đo D· MN HẾT HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Phần 2: Tự luận 1/6
2. 3x2 3 x 1 1 2x2 5x 5 Câu 1: Cho biểu thức: A 3 2 : x 1 x x 1 x 1 x 1 1. Rút gọn biểu thức A 1 2. Tìm các giá trị của x để A 2x2 1 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A Lời giải 1. Điều kiện x 1 3x2 3 x 1 1 2x2 5x 5 A 3 2 : x 1 x x 1 x 1 x 1 3x2 3 x2 2x 1 x2 x 1 2x2 5x 5 : 2 2 2 x 1 x 1 x x 1 x 1 x x 1 x 1 x x 1 3x2 3 x2 2x 1 x2 x 1 2x2 5x 5 : x 1 x2 x 1 x 1 x2 x 1 x 1 1  x 1 x2 x 1 2x2 5x 5 2x2 5x 5 1 2. Với x 1 để A nên 2x2 1 1 1 2x2 5x 5 2x2 1 2x2 5x 5 2x2 1 5x 4 4 x (tm) 5 4 1 Vậy x thì A 5 2x2 1 3. Ta có 2 2 5 5 2 5 25 15 2x 5x 5 2. x x 2. x 2.x. 2 2 4 16 16 2 2 5 15 5 15 15 2. x 2. x x 4 16 4 8 8 1 8 Suy ra A 2x2 5x 5 15 8 5 Vậy A lớn nhất bằng . Dấu bằng xảy ra khi x 15 4 Bài 2. (4 điểm) 1 1 1 2 1 1. Cho các số x, y, z khác 0 thỏa mãn đồng thời 2 và 4 x y z xy z2 2/6
3. 2025 Tính giá trị của biểu thức P x 2y z 2. Tìm các cặp số x; y nguyên thỏa mãn 2x2 2xy 5x y 19 0 Lời giải 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1. Vì 2 nên 4 mà 2 4 x y z x y z xy z 2 1 1 1 2 1 Suy ra 2 x y z xy z 1 1 1 2 2 2 2 1 x2 y2 z2 xy yz xz xy z2 1 1 1 2 2 1 0 x2 y2 z2 yz xz z2 2 2 1 1 1 1 0 x z y z 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 Vì 0 x, z; 0 y, z nên 0x, y, z x z y z x z y z 1 1 0 x z Dấu “=” xảy ra khi nên x y z 1 1 0 y z 1 1 1 1 1 1 1 1 Mà 2 nên 2 2 x x y z x x x x 2 2025 2025 2025 2025 1 Vậy P x 2y z x 2x x 2x 2 1 2 2. Tìm các cặp số x; y nguyên thỏa mãn 2x2 2xy 5x y 19 0 Ta có 2x2 2xy 5x y 19 0 x 2x 1 y 2x 1 2 2x 1 17 0 2x 1 x y 2 17 Ta có bảng 2x 1 17 17 1 1 x y 2 1 1 17 17 x 9 8 1 0 y 8 11 16 19 Vậy x; y 9;8 ; 8; 11 ; 1;16 ; 0; 19 Bài 3. (4 điểm) 1. Cho a,b là các số tự nhiên thỏa mãn 4a2 a 5b2 b Chứng minh rằng: a b và 5a 5b 1 đều là các số chính phương 3/6
4. b2 1 2. Cho hai số a,b 0 thỏa mãn 2a2 4 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu 4 a2 thức Q ab 2025 Lời giải 1. Vì 4a2 a 5b2 b nên 5a2 5b2 a b a2 a b 5a 5b 1 a2 (*) Gọi d UCLN(a b;5a 5b 1)(d N * ) a bd Suy ra 5a 5b 1d Do đó a2 a b 5a 5b 1 d 2 nên ad mà a bd suy ra bd Vì ad ;bd nên 5a 5bd mà 5a 5b 1d nên 1d suy ra d 1 Suy ra (a b;5a 5b 1) 1mà a b 5a 5b 1 a2 Nên a b và 5a 5b 1 đều là các số chính phương b2 1 b2 1 4 2a2 a2 a2 2. Vì 4 a2 4 a2 b2 1 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 4 số không âm a2 ;a2 ; ; ta được 4 a2 b2 1 b2 1 a2b2 4 a2 a2 4 4 a2 a2   4 4 4 a2 4 a2 4 a2b2 Suy ra 1 nên a2b2 4 suy ra ab 2 do đó 2 ab 2 4 Suy ra 2 2025 ab 2025 2 2025 Hay 2023 Q 2027 a.b 2 Vậy Q 2023 . Dấu bằng xảy ra khi 2 min 2 1 b a 2 a 4 a 1;b 2 Suy ra a 1;b 2 a.b 2 Vậy Q 2027 . Dấu bằng xảy ra khi 2 max 2 1 b a 2 a 4 a 1;b 2 Suy ra a 1;b 2 Bài 4. (7 điểm) 1. Cho tam giác ABC nhọn, có ·ACB 45; các đường cao AD, BE cắt nhau tại H H BC; E AC . Gọi M ; N lần lượt là trung điểm của AB và CH . Gọi O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC . 4/6
5. a) Chứng minh AD.DH BD.DC b) Chứng minh: tứ giác DMEN là hình vuông c) Chứng minh: ba đường thẳng MN, DE,OH đồng quy. 2. Cho hình thoi ABCD có góc ABC 1200 , P là một điểm thuộc cạnh AB P A; B . Gọi N là giao điểm của hai đường thẳng AD và CP ; M là giao điểm của BN và DP . Tính số đo D· MN Lời giải 1. A E M I O H N C B D a) Vì AEH vuông tại H nên H· AE ·AHE 90 Vì BHD vuông tại D nên H· BD B· HD 90 Mà ·AHE B· HD (2 góc đối đỉnh) Suy ra H· AE H· BD Xét ADC và BDH có H· AE H· BD (cmt); ·ADC H· DB 90(gt) Suy ra ADC # BDH (g-g) AD DC Suy ra BD DH Hay AD.DH BD.DC 1 b) Vì EM AB ( EM là đường trung tuyến trong tam giác AEB vuông tại E ) 2 1 DM AB ( DM là đường trung tuyến trong tam giác ADB vuông tại D ) 2 1 Suy ra EM DM AB (1) 2 1 Tương tự EN HC ( EN là đường trung tuyến trong tam giác EHC vuông tại E ) 2 1 DN HC ( DN là đường trung tuyến trong tam giác HDC vuông tại D ) 2 1 Suy ra EN DN HC (2) 2 Xét ADC vuông tại D có ·ACB 45nên D· AC 45 . Do đó ADC vuông cân tại D nên DA DC Tương tự HDB vuông cân tại D nên DB DH Suy ra ADB CDH (ch cgv) do đó HC AB (3) Từ (1);(2);(3) suy ra EM DM EN DN . Do đó tứ giác DMEN là hình thoi (4) Vì MAD NDC(c c c) suy ra ·ADM N· DC mà N· DC H· DN 90 nên 5/6
6. ·ADM H· DN 90 Hay M· AN 90 (5) Từ (4); (5) suy ra tứ giác DMEN là hình vuông c) Xét EBC vuông tại E có ·ACB 45nên E· BC 45 . Do đó EBC vuông cân tại E nên EB EC Mà OB OC ( O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC ) suy ra OE là đường trung trực của đoạn thẳng BC suy ra EO  BC mà AH  BC nên EO∥ AH (6) Tương tự OA OC ( O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC ) DA DC ( ADC vuông cân tại D ) Suy ra OD là đường trung trực của đoạn thẳng AC suy ra DO  AC mà BE  AC nên DO∥ BE (7) Từ (6); (7) suy ra tứ giác DHEO là hình bình hành Do đó 2 đường chéo OH và DE cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường Vì tứ giác DMEN là hình vuông nên 2 đường chéo MN và DE cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường Suy ra ba đường thẳng MN, DE,OH đồng quy tại I 2. N A M P B D I C Vì tứ giác ABCD là hình thoi nên AB BC CD DA; AB∥ CD; AD∥ CB Gọi I là giao điểm của CN và BD BC IB Vì BC∥ AD nên (hệ quả của định lý Thales) (1) DN ID BP IB Vì AB∥ CD nên (hệ quả của định lý Thales) (2) CD ID BC BP Từ (1);(2) suy ra (3) DN CD Vì BD là tia phân giác của ·ABC (Tính chất đường chéo của hình thoi) 1 1 Nên ·ABD ·ABC 120 60 . Lại có AB AD nên ABD đều 2 2 suy ra AB AD BD CD BC (4) BD BP Từ (3);(4) suy ra DN BD 6/6
7. BD BP Xét BDP và DNB có D· BP B· DN 60 (cmt); (cmt) DN BD Suy ra BDP # DNB (c-g-c) Suy ra D· PB D· BN (2 góc tương ứng) Mà D· PB D· MB P· BM (góc ngoài tam giác BPM ) Có D· BN D· BA P· BM Suy ra D· MB D· BA 60 Mặt khác D· MB D· MN 180 Hay 60 D· MN 180 . Suy ra D· MN 120  HẾT  7/6
8. Phần đề gốc: các thầy cô gửi cả file word hoặc ảnh chụp đều được ạ! PHÒNG GD&ĐT LỤC NAM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2023-2024 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán lớp 8 (Đề gồm 03 trang) Ngày thi: 09/10/2023 Thời gian làm bài: 120 phút A. TRẮC NGHIỆM (6,0 điểm) Câu 1: Số dư trong phép chia x 3 x 5 x 7 x 9 2038 cho x2 12x 30 bằng A. 1. B. 2038. C. 0. D. 2023. 12 Câu 2: Biểu thức A có giá trị nhỏ nhất khi giá trị của x bằng x2 4x 6 A. 2. B. 4. C. 2. D. 2 và 1. a b c Câu 3: Cho a,b,c thoả mãn abc 1. Khi đó biểu thức C có giá 1 a ab 1 b bc 1 c ca trị bằng A. 1. B. 2. C. 2. D. 1. x2 ax2 a a2 a2 x2 1 Câu 4: Giá trị của biểu thức A tại x 20232022 và a 5 là x2 ax2 a a2 a2 x2 1 5 31 2019 5 A. . B. . C. . D. . 4 21 5 20232022 Câu 5: Cho tứ giác ABCD có µA Bµ 220o . Các tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh C và D của tứ giác cắt nhau tại K. Số đo góc CKD là A.50o. B.60o. C.70o. D. 80o. Câu 6: Cho tứ giác ABCD có AD DC CB ; Cµ 130o ;Dµ 110o. Số đo góc B là A. 55o. B. 60o. C. 65o. D. 50o. Câu 7: Trong một kì thi Hội khỏe Phù Đổng trường A có 12 học sinh giành được các giải thưởng, trong đó: 7 học sinh giành được ít nhất 2 giải, 4 học sinh giành được ít nhất 3 giải, 2 học sinh giành được số giải nhiều nhất, mỗi em 4 giải. Số giải thưởng trường A giành được là A. 26. B. 25. C. 24. D. 23. Câu 8: Giá trị của biểu thức A 1002 992 982 972 ... 22 12 là A. 5050. B. 5005. C. 4950. D. 4590. 8/6
9. Câu 9: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức B x x4 10x3 26x2 10x 30 là A. 0. B. 5. C. 10. D. 20. Câu 10: Cho tứ giác ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo, AB 6,OA 8, OB 4, OD 6. Độ dài cạnh AD bằng A. 166. B. 13. C. 170 D. 167. Câu 11: Cho x2 x 1. Giá trị biểu thức Q x6 2x5 2x4 2x3 2x2 2x 1 là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 12: Cho hình thang vuông ABCD µA Dµ 900 . Cho biết AD 20, AC 52 và BC 29. Độ dài cạnh AB là A. 26. B. 27. C. 28. D. 29. Câu 13: Cho tam giác ABC có AB 6cm, AC 8cm. Các đường trung tuyến BD và CE vuông góc với nhau. Độ dài cạnh BC là 3 5 5 A. . B. 2 5. C. . D. . 2 2 3 Câu 14: Tổng các giá trị của x thoả mãn x 2 3 4x x2 4x 4 0 là 1 1 11 11 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Câu 15: Một hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên và góc kề với đáy lớn bằng 60o. Biết chiều cao của hình thang cân này là a 3. Chu vi của hình thang cân này là A. 10a. B. 9a. C. 12a. D. 8a. Câu 16: Số bàn thắng ghi được trong mỗi trận đấu (không tính loạt sút luân lưu) của một giải bóng đá được ghi lại trong bảng sau: Số bàn thắng 0 1 2 3 4 5 Số trận 4 7 8 9 2 2 Hỏi trong giải đấu đó có thể có nhiều nhất bao nhiêu trận đấu kết thúc với tỉ số hòa (trong 90 phút thi đấu chính thức)? A. 32. B. 4. C. 7. D. 14. Câu 17: Đa thức a3 4a2 29a 24 được viết dưới dạng nhân tử là A. a 1 a 3 a 8 . B. a 1 a 3 a 8 . 9/6
10. C. a 1 a 3 a 8 . D. a 1 a 3 a 8 . 3x 2y Câu 18: Cho 9x2 4y2 20xy và 2y 3x 0 . Khi đó biểu thức A có giá trị là 3x 2y 1 2 2 1 A. . B. . C. . D. . 2 9 9 2 a b c a 2b c Câu 19: Cho a b c 0 và . Khi đó giá trị của biểu thức B . là 2 3 4 a b c 3 4 1 A. B . B. B . C. B 12. D. B . 4 3 12 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 Câu 20: Giá trị của x thỏa mãn là 2023 2022 2021 2025 2026 2027 A. 2023. B. 2024. C. 2023. D. 2024. B. TỰ LUẬN (14,0 điểm) Bài 1. (5,0 điểm) y2 - x2 x2 + y2 1. Tìm x, y , biết: = và x10.y10 1024 3 5 2. Cho các số thực a,b thỏa mãn a2 b2 ab a b 1 0 . Tính giá trị của biểu thức M 3a3 2b4 1 3. Một chiếc hộp đựng 99 chiếc thẻ màu vàng, 100 chiếc thẻ màu đỏ và 101 chiếc thẻ màu xanh. Người ta tiến hành trò chơi rút thẻ như sau: mỗi lần rút thẻ người ta lấy ra hai chiếc thẻ khác màu và thay vào đó bằng hai chiếc thẻ có màu còn lại, quá trình này diễn ra liên tục. Hỏi đến một lúc nào đó người ta có thể nhận được trong hộp tất cả các thẻ có cùng một màu hay không? Hãy giải thích vì sao? 2 2 4. Viết biểu thức sau dưới dạng tích x y 2z x y z 9z2 . Bài 2. (4,0 điểm) 1. Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n2 3n 8 là số chính phương. 2. Biết rằng đa thức f (x) chia cho x 2 dư 11, chia cho x 2 dư 1, chia cho x2 4 được thương là 3x và còn dư. Tính f (2023) f ( 2023). 3. Chứng minh rằng: n3 3n2 n 3 chia hết cho 48 với mọi số nguyên lẻ n. 4. Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn x2 y2 x 3y 4 0 . Bài 3. (4,0 điểm) Cho tứ giác ABCD . Gọi E, I lần lượt là trung điểm của AC và BC ; trên tia đối của tia EI lấy điểm M sao cho EM EI a) Chứng minh tứ giác ABIM là hình bình hành. b) Gọi N, F lần lượt là trung điểm của AD và BD ; trên tia đối của tia FI lấy điểm K sao cho FK FI . Chứng minh ba đường thẳng IN;MF;KE đồng quy. 10/6
11. c) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Kí hiệu S;S1;S2 lần lượt là diện 2 2 tích của tứ giác ABCD, tam giác AOB và tam giác COD. Biết S1 a ;S2 b với a,b là các số 2 dương cho trước. Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để S a b . Bài 4. (1,0 điểm) 8 Cho x, y là các số thực thỏa mãn: x2 y2 4 xy . Chứng minh: x2 y2 8 3 ----------------Hết---------------- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:................................................ Số báo danh:....................................... PHÒNG GD&ĐT LỤC NAM HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2023-2024 Môn: Toán lớp 8 Ngày thi: 09/10/2023 I. Trắc nghiệm (6,0 điểm, mỗi câu đúng được 0,3 điểm). Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Đáp án D C D B C A B A B A Câu 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 11/6
12. Đáp án D B B A A D D A C D II. Tự luận (14,0 điểm) Bài Sơ lược các bước giải Điểm Ta có: y2 - x2 x2 + y2 y2 - x2 + x2 + y2 y2 x2 + y2 - y2 + x2 x2 = = = = = 3 5 3+ 5 4 5- 3 1 2 2 ⇒ = (1) 0,25 4 1 5 5 y2 x2 y10 x10 y10.x10 x10.x10 10 10 4 1 2 1 2 1 1024 20 20 10 x x 1 x 1 hoặc x 1 0,25 Bài 1.1 2 (1,0 điểm) y2 1 Với x 1, từ (1) suy ra : = y2 4 y 2 hoặc y 2. 4 1 0,25 y2 1 Với x 1, từ (1) suy ra : = y2 4 y 2 hoặc y 2. 4 1 Vậy x; y 1;2 ; 1; 2 ; 1;2 ; 1; 2 . 0,25 Ta có a2 b2 ab a b 1 0 2a2 2b2 2ab 2a 2b 2 0 2 2 2 2 a 2ab b a 2a 1 b 2b 1 0 0,5 2 2 2 Bài 1.2 a b a 1 b 1 0 (1,5 điểm) a b 2 0 a b 2 a 1 a 1 0 a 1 0,5 b 1 b 1 2 0 b 1 12/6
13. Bài Sơ lược các bước giải Điểm a 1 Thay vào biểu thức M ta được b 1 0,5 M 3.13 2 1 4 1 0 Vậy khi a2 b2 ab a b 1 0 thì M 0 Ta thấy 99 chia cho 3 dư 0, 100 chia cho 3 dư 1, 101 chia cho 3 dư 2, do đó số lượng 0,5 thẻ mỗi loại khi chia cho 3 được các số dư khác nhau là 0, 1, 2. Sau mỗi lần rút thẻ, số lượng thẻ mỗi loại trong hộp giảm đi 1 hoặc tăng thêm 2. Khi đó số dư của chúng khi chia cho 3 thay đổi như sau: Số thẻ chia cho 3 dư 0 sau mỗi lần rút sẽ chia cho 3 dư 2. Bài 1.3 Số thẻ chia cho 3 dư 1 sau mỗi lần rút sẽ chia cho 3 dư 0. 0,5 (1,5 điểm) Số thẻ chia cho 3 dư 2 sau mỗi lần rút sẽ chia cho 3 dư 1. Do đó sau mỗi lần rút thẻ, số thẻ mỗi loại trong hộp khi chia cho 3 vẫn có số dư khác nhau là 0, 1, 2. Giả sử đến một lúc nào đó người ta có thể nhận được trong hộp tất cả các thẻ có cùng một màu thì số thẻ 2 màu còn lại bằng 0, số dư của chúng khi chia cho 3 bằng 0,5 0, điều này mâu thuẫn với kết luận trên. Vậy không thể nhận được các thẻ trong hộp có cùng một màu. 2 2 Ta có : x y 2z x y z 9z2 2 2 0,25 x y 2z 9z2 x y z 2 Bài 1.4 x y 2z 3z x y 2z 3z x y z 0,25 (1,0 điểm) x y z x y 5z x y z 2 0,25 x y z 2x 2y 4z 2 x y z x y 2z 0,25 Xét A n2 3n 8 , nếu A là số chính phương thì 4A là số chính phương. Khi đó giả sử 4A a2 (a N * ) Suy ra 4n2 12n 32 a2 Bài 2.1 2 2 2 0,5 (1,0 điểm) 2n 2.2n.3 3 23 a 2n 3 2 23 a2 a2 2n 3 2 23 a 2n 3 a 2n 3 23 (1) 13/6
14. Bài Sơ lược các bước giải Điểm Vì n N,a N * nên + 2푛 + 3 ∈ ℕ∗ và a 2n 3 a 2n 3 a 2n 3 23 a 12 Do đó từ (1) ta có (thỏa mãn) a 2n 3 1 n 4 0,5 Thử lại thấy n 4 thì A 42 3.4 8 36 là số chính phương. Vậy n 4 thỏa mãn yêu cầu bài toán. f (x) chia cho x 2 dư 11 f (x) (x 2).P(x) 11 f (2) 11 f (x) chia cho x 2 dư 1 0,25 f (x) (x 2).Q(x) 1 f ( 2) 1 f (x) chia cho x2 4 được thương là 3x và còn dư 0,25 f (x) (x2 4).3x ax b (1) Bài 2.2 Từ (1) f 2 2a b, f 2 2a b (1,0 điểm) 2a b 11 0,25 tìm ra được a 3,b 5 2a b 1 Suy ra f x x2 4 .3x 3x 5 3x3 9x 5 f 2023 f 2023 3.20233 9.2023 5 3. 2023 3 9. 2023 5 0,25 f 2023 f 2023 10 Ta có n3 3n2 n 3 n3 n 3n2 3 n n2 1 3 n2 1 n n 1 n 1 3 n 1 n 1 n 1 n 1 n 3 0,5 Vì n lẻ nên n 2k 1 k Z Bài 2.3 (1,0 điểm) Do đó n 1 n 1 n 3 2k 1 1 2k 1 1 2k 1 3 2k 2k 2 2k 2 8k k 1 k 1 Vì k k 1 k 1 là tích của ba số nguyên liên tiếp nên k k 1 k 1 chia hết cho 2 và 3. 0,5 Mà ƯCLN 2,3 1 nên k k 1 k 1 chia hết cho 6, suy ra 14/6
15. Bài Sơ lược các bước giải Điểm 8k k 1 k 1 chia hết cho 48. Vậy n3 3n2 n 3 chia hết cho 48 với mọi số nguyên lẻ n . Ta có x2 y2 x 3y 4 0 4x2 4x 1 4y2 12y 9 8 0 2x 1 2 2y 3 2 8 0,5 2x 1 2y 3 2x 1 2y 3 8 2x 2y 2 2x 2y 4 8 x y 1 x y 2 2 (1) Bài 2.4 ∗ (1,0 điểm) Vì x, y nguyên dương nên + ― 2 ∈ ℕ nên từ (1) suy ra x y 1 1 x y 1 2 hoặc x y 2 2 x y 2 1 x 2 x 2 hoặc 0,5 y 2 y 1 x 2 x 2 Vậy hoặc thì x2 y2 x 3y 4 0 y 2 y 1 Bài 3 (4,0 điểm) a) Chứng minh được tứ giác AICM có E là trung điểm của AC và MI nên tứ 0,75 giác AICM là hình bình hành AM // BI và AM BI 15/6
16. Bài Sơ lược các bước giải Điểm Từ đó chứng minh được tứ giác AMIB là hình bình hành 0,75 b) chứng minh được tứ giác BKDI là hình bình hành KD // BI ; KD BI mà AM // BI và AM BI (chứng minh a) 0,5 KD // AM ; KD AM AMKD là hình bình hành suy ra N là trung điểm của MK 0,5 Xét ΔMKI có N, E, F lần lượt là trung điểm của MK;KI;MI Suy ra IN;MF;KE là ba đường trung tuyến của ΔMKI 0,5 Suy ra IN,MF, KE đồng quy (Điều phải chứng minh) SAOB OB SBOC 2 2 c) Ta có SAOD .SBOC a .b SAOD OD SCOD 2 2 2 2 Áp dụng bất đẳng thức x y 4xy SAOD SBOC 4a b 0,5 SAOD SBOC 2ab . Do a,b 0 2 2 2 Ta có SABCD SAOB SAOD SBOC SCOD a b 2ab a b không đổi. Dấu " " xảy ra khi SAOD SBOC khi AB //CD hay ABCD là hình 0,5 thang. 2 Vậy để SABCD a b khi tứ giác ABCD là hình thang với AB //CD Ta có x2 y2 4 xy 2x2 2y2 8 2xy 2 2 2 2 x y x 2xy y 8 0,25 x2 y2 x y 2 8 2 2 Vì x y 0 với mọi x, y nên x y 8 8 (1) 0,25 Bài 4 Dấu '' '' xảy ra khi x y 2 (1,0 điểm) Lại có: 2x2 2y2 8 2xy 2 2 2 2 3x 3y 8 x 2xy y 0,25 3 x2 y2 x y 2 8 8 2 2 Vì x y 0 với mọi x, y nên x y 8 8 0,25 16/6
17. Bài Sơ lược các bước giải Điểm 8 x2 y2 (2) 3 2 Dấu " " xảy ra khi x y 3 8 Từ (1) và (2) suy ra: x2 y2 8 3 Tổng 14 điểm Chú ý: 1. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được điểm tối đa. 2. Với các cách giải đúng nhưng khác đáp án, tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết (đến 0,25 điểm) nhưng không được vượt quá số điểm dành cho bài hoặc phần đó. 3. Đối với bài hình học (Bài 3 phần tự luận), nếu học sinh không 17/6
18. FONT: TIMES NEW ROMAN, CỠ CHỮ : 12, CĂN LỀ TRÁI: 1,75 CM, BỎ ĐÁNH SỐ CÂU TỰ ĐỘNG CHỈ GIỮ LẠI PHẦN NỘI DUNG THẦY CÔ LÀM, PHẦN KHÔNG LIÊN QUAN THẦY CÔ VUI LÒNG XÓA HẾT. CĂN LỀ TRÁI SAI VÀ ĐÚNG MỘT SỐ QUY ĐỊNH ĐÁNH MÁY 1. QUY ĐỊNH VỀ FONT VÀ CỠ CHỮ TRONG CÔNG THỨC MATHTYPE 18/6
19. 2. QUY ĐỊNH ĐÁNH MỘT SỐ KÍ TỰ ĐẶC BIỆT TRONG MATHTYPE THÔNG THƯỜNG QUY ĐỊNH CỦA NHÓM (PHẢI ĐÁNH NHƯ DƯỚI) 1. Dấu độ 900 1. 90 Nhấn Ctrl Shiff K, buông ra nhấn D 2. Chữ d trong dx dx 2. dx Chữ d đứng thẳng (Bôi đen nhấn Ctrl Shift E) 3. Dấu phẩy d ' hoặc A' 3. d hoặc A Nhấn Ctrl Alt ‘ 4. Cặp ngoặc tròn (3;4) 4. 3;4 Nhấn Ctrl ( 5. Cặp ngoặc vuông[3;4] 5. 3;4 Nhấn Ctrl [ 6. Tọa độ điểm 1;2 6. 1;2 Trước và sau dấu ; có 1 dấu cách . Nhấn Ctrl Space để gõ dấu cách trong MT. 7. Tọa độ vectơ a 1;2 7. a 1;2 có dấu bằng. 8. Dấu song song a / /b 8. a // b Trước và sau dấu // có 1 dấu cách 9. Tách rời công thức x, y 9. x , y hoặc x1 ; x2 Dấu , hoặc dấu ; nằm hoặc x1; x2 ngoài MT, tách ra thành 2 công thức. 10. Chữ e (cơ số tự nhiên) e 10. e Đứng thẳng (Bôi đen nhấn Ctrl Shift E) 11. Các biến số như x , y , t và các chữ cái như a , b , m , A , B đều phải được gõ trong Mathtype và in nghiêng. 12. Dấu chấm câu phải để ngoài mathtype. 13. Các chữ số tự nhiên không đi cùng bất kì kí tự nào khác có thể gõ bằng Word bình thường, không cần gõ trong Mathtype. Nhưng với số âm, có dấu “trừ” thì phải gõ trong mathtype. 14. Đơn vị in đứng và cách số liệu 1 dấu cách. 15. Hình vẽ, bảng biến thiên canh giữa trang, trên một dòng, để chế độ In line with Text. 16. Đánh số thứ tự câu dạng Text. Không để dạng thứ tự câu tự động. 17. a // b Trước và sau dấu // có 1 dấu cách (bôi đen, ctrl +shifl +E) VJMF ∽ VJOI,¡ \{0;1};+¥ ; Þ ;Û ;³ ;£;Î ;//;" 19/6