Đề thi Olympic năm học 2023-2024 môn Toán 7 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi Olympic năm học 2023-2024 môn Toán 7 (Có đáp án)

1. UBND THỊ XÃ HOÀNG MAI ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2023-2024 PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC Mụn: Toỏn 7 (Đề thi gồm 01 trang) Thời gian làm bài: 150 phỳt, khụng kể thời gian giao đề Cõu 1. (4,5 điểm) Tớnh giỏ trị cỏc biểu thức sau. 212.13 + 212.65 310.11+ 310.5 a) A = + 210.104 39.16 ổ ử ổ ổ ử2 ữử ỗ 1 1 1 ữ ỗ 64 4 ỗ2ữ 4 ữ b) B = ỗ1- + - ữ: ỗ - + ỗ ữ - ữ ỗ 2 ữ ỗ ỗ ữ ữ ốỗ 49 49 (7 7) ứữ ốỗ 2 7 ố7ứ 343ứữ 1 3 1 5 3 5 3 c) C = + + + + + + 3 7 2.7 2.13 13.4 4.21 21.6 Cõu 2. (3,5 điểm) x + 4 x + 3 x + 2 x + 1 a) Tỡm x biết: + = + . 2020 2021 2022 2023 ổ ử2 ỗ 1ữ b) Tỡm x, y biết: ỗ2x - ữ + 3y + 12 Ê 0. ốỗ 6ứữ x + 1 c) Tỡm số nguyờn x để P = là một số nguyờn. x - 3 Cõu 3. (4,0 điểm) a) ễng Ba gửi ngõn hàng 100 triệu, lói suất 8% trờn 1 năm. Hỏi sau 36 thỏng số tiền cả gốc và lói ụng Ba thu được là bao nhiờu ? (Biết nếu tiền lói khụng rỳt ra thỡ tiền lói đú sẽ nhập vạ̀o vốn để tớnh lói cho cỏc kỡ hạn tiếp theo). b) Biết x + 1 và 2x + 1 đồng thời là cỏc số chớnh phương. Chứng minh x12. c) Cho hai đa thức: f (x) = (x - 1)(x + 3) và g(x) = x 3 - ax 2 + b - 3. Xỏc định hệ số a, b của đa thức g(x) biết nghiệm của đa thức f (x) cũng là nghiệm của đa thứcg(x) . Cõu 4. (6,0 điểm) Cho tam giỏc ABC vuụng tại B cú Cà = 600 , kẻ đường cao BK (K ẻ AC ). Vẽ đường thẳng d là trung trực của AB cắt cạnh AB tại N , cắt cạnh AC tại M , cắt tia BK của tam giỏc ABC tại E . a) Chứng minh DANM = DBNM và M là trung điểm của AC . b) Chứng minh điểm E cỏch đều MB và BC . 1 c) Vẽ điểm D thuộc đoạn BE sao cho ED = EB , gọi I là trung điểm của ME 3 . Chứng minh ba điểm C , D , I thẳng hàng. Cõu 5. (2,0 điểm) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:M = 7x – 5y + 2z – 3x + xy + yz + zx - 2000 . --- Hết --- (Thớ sinh khụng dựng tài liệu, cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm) Họ và tờn thớ sinh: Số bỏo danh:
2. 2 UBND THỊ XÃ HOÀNG MAI HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2023-2024 (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Mụn: Toỏn 7 Cõu Nội dung Điểm Cõu 1 (4,5 điểm) 212.78 310.16 A = + 1.0 a 210.104 39.16 = 3 + 3 = 6 0,5 1 1 1 1 1 1 1- + - 1- + - 49 49 (7 7)2 2 3 0.5 B = = 7 7 7 ổ ử2 8 4 4 4 64 4 ỗ2ữ 4 - + - - + ỗ ữ - 2 3 2 7 ốỗ7ứữ 343 2 7 7 7 b 1 1 1 1- + - 2 3 1 = 7 7 7 = 1.0 ổ 1 1 1 ử 4 4.ỗ1- + - ữ ỗ 2 3 ữ ốỗ 7 7 7 ứữ 1 3 1 5 3 5 3 P = + + + + + + 3 7 2.7 2.13 13.4 4.21 21.6 ổ ử ỗ 1 3 1 5 3 5 3 ữ 0.5 = 4ỗ + + + + + + ữ ốỗ3.4 4.7 7.8 8.13 13.16 16.21 21.24ứữ ổ ử ỗ4 - 3 7 - 4 8 - 7 13 - 8 16 - 13 21- 16 24 - 21ữ c = 4ỗ + + + + + + ữ ốỗ 3.4 4.7 7.8 8.13 13.16 16.21 21.24 ứữ 0.5 ổ ử ỗ1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ữ = 4ỗ - + - + - + - + - + - + - ữ ốỗ3 4 4 7 7 8 8 13 13 16 16 21 21 24ứữ ổ ử ỗ1 1 ữ 21 7 0.5 = 4ỗ - ữ= 4. = ốỗ3 24ứữ 3.24 6 Cõu 2 (3,5 điểm) x + 4 x + 3 x + 2 x + 1 + = + 2020 2021 2022 2023 x + 4 x + 3 x + 2 x + 1 Û + 1+ + 1 = + 1+ + 1 0.5 2020 2021 2022 2023 x + 2024 x + 2024 x + 2024 x + 2024 Û + = + = 0 2020 2021 2022 2023 a ổ ử 0.5 ỗ 1 1 1 1 ữ Û (x + 2024)ỗ + - - ữ= 0 ốỗ2020 2021 2022 2023ứữ ổ ử ỗ 1 1 1 1 ữ Û x + 2024 = 0 vỡ ỗ + - - ạ 0ữ ốỗ2020 2021 2022 2023 ứữ 0.5 Û x = - 2024
3. 3 ổ ử2 ỗ 1ữ Vỡ ỗ2x - ữ ³ 0; 3y + 12 ³ 0; do đú: ốỗ 6ứữ ổ ử2 ổ ử ỗ 1ữ ỗ 1ữ 0.5 ỗ2x - ữ + 3y + 12 ³ 0. Theo đề bài thỡ ỗ2x - ữ+ 3y + 12 Ê 0. ốỗ 6ứữ ốỗ 6ứữ ổ ử2 b ỗ 1ữ 1 Từ đú suy ra: ỗ2x - ữ + 3y + 12 = 0 Khi đú 2x - = 0 và ốỗ 6ứữ 6 1 3y + 12 = 0 suy ra x = và y = - 4 0.5 12 1 Vậy x = và y = - 4 12 x + 1 x - 3 + 4 4 P = = = 1+ 0.5 x - 3 x - 3 x - 3 c Để P là số nguyờn thỡ ( x - 3) là ước của 4, tức là 0.5 ( x - 3) ẻ {± 1; ± 2; ± 4} Vậy giỏ trị x cần tỡm là 1 ; 4 ; 16 ;25 ; 49 Cõu 3 (4,0 điểm) 36 thỏng = 3 năm Năm đầu, ụng lói được số tiền là 100 000 000⋅8%=8 000 000 (đồng) 0.25 Năm thứ 2, ụng lói được số tiền là a (100 000 000+8 000 000).8%=8 640 000 (đồng) 0.25 Năm thứ 3, ụng lói được số tiền là (100 000 000+8 000 000+8 640 000).8%=9 331 200 (đồng) 0.25 Sau 36 thỏng, ụng Ba rỳt ra cả vốn cả lói là 100 000 000 + 8 000 000 + 8 640 000 + 9 331 200=125 971 200 (đồng) 0.25 Vỡ 2x + 1 là số chớnh phương lẻ nờn 2x + 1 chia cho 8 dư 1, suy ra 2x chia hết cho 8, nờn x chia hết cho 4 (1) 0.5 Ta cú (x + 1) + (2x + 1) = 3x + 2 chia cho 3 dư 2 b 0.5 Mà số chớnh phương chia cho 3 dư 0 hoặc 1 nờn x + 1 và 2x + 1 chia cho 3 cựng dư 1, nờn x chia hết cho 3 (2) 0.5 Từ (1), (2), (3;4) = 1 nờn x chia hết cho 3.4 = 12 0.5 HS biết tỡm nghiệm của f (x) = (x - 1)(x + 3) = 0 Û x = 1, x = - 3 0.5 Nghiệm của f (x) cũng là nghiệm của g(x) = x 3 - ax 2 + b - 3 nờn: c Thay x = 1 vào g(x) ta cú: 1- a + b - 3 = 0 Thay x = - 3 vào g(x) ta cú: - 27 - 9a - 3b - 3 = 0 Từ đú HS biến đổi và tớnh được: a = - 3, b = - 1 0.5
4. 4 Cõu 4 E (6,0 điểm) C D I K M B N A ùỡ MA = MB ù c/m DANM = DBNM (c-g-c) ị ớ 1.0 ù Mã AB = Mã BA ợù c/m Cã MB = Mã AB + Mã BA (gúc ngoài tại đỉnh M của DABM ) a ị Cã MB = Mã AB + Mã BA = 2Mã AB = Mã CB . 0.5 Do đú VBMC cõn tại M nờn MB = MC . Mặt khỏc MB = MA (do DANM = DBNM ) 0.5 Suy ra MA = MC hay M là trung điểm của AC . 0.5 c/m: Tam giỏc BMC cõn tại M , lại cú Bã CM = 60° nờn là tam giỏc đều. 0.5 DBCM là tam giỏc đều nờn đường cao BK đồng thời là đường trung b tuyến, đường phõn giỏc. 1.0 Do E nằm trờn đường phõn giỏc BK của CãBM nờn E cỏch đều MB , BC . 0.5 c/m DEAB cõn tại E . 1 1 vàà BE = à BM + Mã BK = Mã AB + Mã BC = 30° + 60° = 60° nờn 2 2 DEAB đều 0.5 Do đú chõn đường vuụng gúc K của A xuống BE cũng là trung điểm của cạnh BE hay BK = KE . c 0.5 Trong tam giỏc CME , điểm D thuộc trung tuyến EK 1 1 2 và ED = EB = ì2EK = EK . 3 3 3 Do đú D là trọng tõm của tam giỏc ECM . Do CI là đường trung tuyến của tam giỏc ECM nờn CI đi qua D . 0.5 Do đú C , D , I thẳng hàng. Cõu 5 (2,0 điểm) Ta cú 7x – 5y ³ 0; 2z – 3x ³ 0và xy + yz + zx - 2000 ³ 0 Nờn M = 7x – 5y + 2z – 3x + xy + yz + zx - 2000 ³ 0 0.5 Mà M = 0 khi và chỉ khi 7x – 5y + 2z – 3x + xy + yz + zx - 2000 = 0
5. 5 ùỡ x y ù 7x – 5y = 0 Û 7x = 5y Û = ù 5 7 ù z x Û ớù 2z – 3x = 0 Û 2z = 3x Û = ù 3 2 0.5 ù xy + yz + zx - 2000 = 0 Û xy + yz + zx = 2000 ù ợù ộx = 20, y = 28, z = 30 Từ đú tỡm được ờ 0.5 ờx = - 20, y = - 28, z = - 30 ởờ Vậy GTNN của M = 0 Û (x,y,z) = (20;28;30) hoặc (x,y,z) = (- 20;- 28;- 30) 0.5 Lưu ý: HS làm cỏch khỏc đỳng vẫn cho điểm tối đa cho cõu đú. ---Hết---