Đề thi khảo sát học sinh giỏi cấp Huyện năm học 2022-2023 môn Toán 7 - Trường THCS Văn Quán (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi khảo sát học sinh giỏi cấp Huyện năm học 2022-2023 môn Toán 7 - Trường THCS Văn Quán (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT LẬP THẠCH ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC: 2022 – 2023 MÔN: TOÁN 7 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Lưu ý: Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay để làm bài Câu 1. (1,0 điểm) Tính giá trị của biểu thức sau 3 1 3 1 a) 16 . 13 . 5 3 5 9 5 14 12 2 11 b) 15 25 9 7 25 .Câu 2. (1,0 điểm) a) 3 1.3x 9.3x 28 b) Cho các đa thức: A x 3x 9x2 4x 5x3 7x2 1 và B x 5x3 3x2 7x 10 . Hãy tìm nghiệm của đa thức C x A x B x Câu 3. (1,0 điểm) Tìm các số x, y biết: 4x 5y và x2 y2 1. (Với TH x,y nguyên và thực) 2026 x Câu 4. (1,0 điểm) Cho biểu thức A . Tìm x nguyên để A có giá trị nhỏ nhất. x 2023 Câu 5. (1,0 điểm) Cho các số x, y thỏa mãn 2x 1 y 2 2022 0 . Tính giá trị của biểu thức B 12x2 3xy2 . 5 y 1 Câu 6. (1,0 điểm) Tìm số nguyên x và y biết: x 4 8 Câu 7. (1,0 điểm) Tìm các số nguyên tố p sao cho 2p p2 là một số nguyên tố. Câu 8. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm BC, D là điểm thuộc đoạn BM (D khác B và M). Kẻ các đường thẳng BH, CI lần lượt vuông góc với đường thẳng AD tại H và I. Chứng minh rằng: a) B· AM ·ACM và BH AI . b) Tam giác MHI vuông cân. Câu 9. (1,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, có = 100° và I là giao điểm các đường phân giác trong của tam giác ABC. Trên tia BA lấy điểm D sao cho BD = BC. Đường thẳng BI cắt AC tại E, DE cắt BC tại F. Chứng minh rằng: FB = FD ===Hết=== (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh: SBD: . Phòng thi: ..
2. PHÒNG GD&ĐT LẬP THẠCH ĐÁP ÁN THAM KHẢO TRƯỜNG THCS VĂN QUÁN ĐÁP ÁN THAM KHẢO ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2022 – 2023 MÔN: TOÁN 7 Câu Nội dung Điểm Tính giá trị của biểu thức sau 3 1 3 1 a) 16 . 13 . 1 5 3 5 9 1,0 5 14 12 2 11 b) 15 25 9 7 15 3 1 3 1 1.a 16 . 13 . 0,5 5 3 5 9 3 1 3 1 16 . 13 . 5 3 5 9 3 1 3 1 16 . 13 . 5 3 5 3 3 1 3 1 16 . 13 . 5 3 5 3 0,25 3 1 3 1 16 . 13 . 5 3 5 3 3 3 1 16 13 . 5 5 3 3 3 1 16 13 . 5 5 3 1 ( 3). 3 1 0,25 5 14 12 2 11 1.b 15 25 9 7 25 0,5
3. 5 14 12 2 11 15 25 9 7 25 1 14 4 2 11 3 25 3 7 25 1 4 14 11 2 3 3 25 25 7 3 25 2 0,5 3 25 7 2 1 1 7 2 7 a) 3 1.3x 9.3x 28 b) Cho các đa thức: A x 3x 9x2 4x 5x3 7x2 1và B x 5x3 3x2 7x 10 . 2 1,0 Hãy tìm nghiệm của đa thức C x A x B x 2.a 3x. 3 1 9 28 0,5 3x. 3 1 9 28 0,25 x 1 27 3 28 3 3 28 3x. 28 3 28 3 3x 28: 28. 3 28 3x 3 x 1 Vậy x = 1 0,25 Cho các đa thức: A x 3x 9x2 4x 5x3 7x2 1và B x 5x3 3x2 7x 10 . 2.b 0,5 Hãy tìm nghiệm của đa thức C x A x B x Ta có:
4. C x A x B x C x 3x 9x2 4x 5x3 7x2 1 5x3 3x2 7x 10 C x 3x 9x2 4x 5x3 7x2 1 5x3 3x2 7x 10 C x 3x 4x 7x 9x2 7x2 3x2 5x3 5x3 10 1 C x 0 1 x2 0 9 2 C x x 9 0,25 C x 0 x2 9 0 x2 9 x2 3 2 x 3 hoặc x 3 Vậy đa thức C x có nghiệm x 3 hoặc x 3 0,25 3 Tìm các số x, y biết: 4x 5y và x2 y2 1. (Với trường hợp x, y nguyên và hữu tỉ) 1,0 Trường hợp x, y là số nguyên Ta có: 4x 5y 4x5 mà 45 x5 x 5a a Z 5y4 mà 5 4 y4 y 4b b Z Thay x 5a ; y 4b vào 4x 5y , ta được: 4. 5a 5 4.b 20a 20b a b Đặt a b k k Z x 5k; y 4k x2 5k 2 25k 2 2 y2 4k 16k 2 0,5 x2 y2 25k 2 16k 2 25 16 k 2 9k 2 mà theo đề bài x2 y2 1 2 2 1 1 9k 1 k k (vô lý) 9 3 Vậy không có số x, y nào thỏa mãn đề bài. Với trường hợp x, y là số hữu tỉ Theo đề bài ra, ta có: x y x2 y2 x2 y2 4x 5y 5 4 52 42 25 16 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
5. x2 y2 x2 y2 1 25 16 25 16 9 Suy ra: 2 2 x 1 2 1 2 25 5 5 x .25 x x 25 9 9 9 3 3 2 2 y 1 2 1 2 16 4 4 y .16 y y 16 9 9 9 3 3 5 4 5 4  Vậy x; y ; ; ;  0,5 3 3 3 3  Vậy với trường hợp x, y nguyên thì không có nghiệm thỏa mãn, với trường hợp 5 4 5 4  x, y là số hữu tỉ thì có các cặp x; y ; ; ;  thỏa mãn. 3 3 3 3  2026 x 4 Cho biểu thức A . Tìm x nguyên để A có giá trị nhỏ nhất. 1,0 x 2023 Ta có: 2026 x 2023 3 x A x 2023 x 2023 2023 x 3 2023 x 3 A x 2023 x 2023 x 2023 0,25 x 2023 3 3 A 1 x 2023 x 2023 x 2023 3 Để A đạt giá trị nhỏ nhất thì phải có giá trị lớn nhất suy ra x 2023 phải 0,25 x 2023 đạt giá trị nguyên dương nhỏ nhất. ⟹Trường hợp 1: x 2023 1 x 1 2023 0,25 x 2024 (thỏa mãn) 3 3 Thay x 2024 vào A, A 1 1 1 3 4 2024 2023 1 Vậy A có giá trị nhỏ nhất bằng -4 khi x = 2024 0,25 Cho các số x, y thỏa mãn 2x 1 y 2 2022 0 . Tính giá trị của biểu thức 5 1,0 B 12x2 3xy2 .
6. Ta có: 2x 1 y 2 2022 0 |2 ― 1| ≥ 0 2022 2022 0,25 Vì ( ― 2)2022 ≥ 0 nên để 2x 1 y 2 0 thì 2x 1 y 2 0 1 2x 1 0 2x 1 0 2x 1 x ⇒ 2 0,25 y 2 2022 0 y 2 0 y 2 Mặt khác: B 12x2 3xy2 1 Thay x và y 2 vào B, ta được: 2 2 1 1 2 B 12. 3. . 2 2 2 1 3 0,25 B 12. .4 4 2 B 3 6 B 9 1 Vậy giá trị của biểu thức B = 9 khi x ; y 2 2 0,25 5 y 1 Tìm số nguyên x và y biết: 6 x 4 8 1,0
7. Ta có: 5 y 1 x 4 8 5 1 y x 8 4 5 1 2y x 8 8 5 1 2y 0,25 x 8 5.8 x 1 2y 40 x 1 2y x; 1 2y U 40 1; 2; 4; 5; 8; 10; 20; 40 mà 1 – 2y là số lẻ nên 1 – 2y là 0,25 ước lẻ của 40. Ta có bảng sau: 1 – 2y 1 5 -1 -5 0,25 2y 0 -4 2 6 y 0 -2 1 3 x 40 8 -40 -8 Vậy các cặp x; y 40;0 ; 8; 2 ; 40;1 ; 8;3 . 0,25 7 Tìm các số nguyên tố p sao cho 2p p2 là một số nguyên tố. 1,0 Nếu p 2 2 p p2 22 22 4 5 8 (loại) Nếu p 3 2 p p2 23 32 8 9 17 (thỏa mãn) 0,25 Với p 3 mà p là số nguyên tố, suy ra p3 p2 3 mà p2 là số chính phương nên p2 : 3 dư 1 p2 3k 1 (1) p p p Mặt khác: 2  1 mod3 2  1 mod3 2  1 mod3 0,25 2 p  2 mod3 2 p 3k 2 (2) Từ (1) và (2) suy ra: 2 p p2 3k 2 3k 1 6k 3 3 2k 1 3 Ta lại có: 2 p p2 3 (3) 0,25 2 p p2 3 (4) Từ (3) và (4) suy ra 2 p p2 là hợp số. Mà theo đề bài 2 p p2 phải là số nguyên tố nên p 3 (loại) Vậy p = 3 là số nguyên tố duy nhất thỏa mãn đề bài. 0,25 Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm BC, D là điểm thuộc 8 đoạn BM (D khác B và M). Kẻ các đường thẳng BH, CI lần lượt vuông góc với 2,0
8. đường thẳng AD tại H và I. Chứng minh rằng: a) B· AM ·ACM và BH AI . b) Tam giác MHI vuông cân. 8.a B· AM ·ACM và BH AI . 0,75 Hình 0,5 vẽ Xét tam giác ABC vuông góc cân tại A AB = AC; ·ABC ·ACB 45 Ta có: AB = AC; BM = MC 0,25 ⇒ AM là đường trung trực của BC; AM ⊥ BC ⇒ Tam giác ABM; tam giác ACM vuông tại M có 1 góc là 450 ⇒ Tam giác ABM, tam giác ACM là các tam giác vuông cân tại M. 8.a ⇒ B· AM ·ACM 45 Xét tam giác ABH và tam giác ACI có: AB = AC (giả thiết); Hµ I 90 0,25 ⇒ B· AH ·ACI (cùng phụ I·AC ) ⇒ Tam giác ABH = ACI (G – C – G) ⇒ BH = AI 0,25 8.b Tam giác MHI vuông cân. 0,75
9. Xét tam giác HAM và tam giác ICM có: AM = CM (do tam giác AMC vuông cân tại M) AH = CI (do tam giác ABH = tam giác ACI) 0,25 H· AM I·CM ( do cùng phụ I·DM ) ⇒ Tam giác HAM = tam giác ICM (C – G – C) ⇒ HM = IM 8.b ⇒ Tam giác MHI cân tại M và có H· MA I·MC ⇒ H· MB I·MA (do ·AMB ·AMC 90 ) Mà I·MB I·MD 900 (cùng phụ) 0,25 ⇒ H· MB I·MD 900 ⇒ H· MI 900 ⇒ Tam giác MHI vuông cân tại M Vậy tam giác MHI vuông cân. 0,25 Cho tam giác ABC cân tại A, có = 100° và I là giao điểm các đường phân giác 9 trong của tam giác ABC. Trên tia BA lấy điểm D sao cho BD = BC. Đường 1,0 thẳng BI cắt AC tại E, DE cắt BC tại F. Chứng minh rằng: FB = FD Hình 0,5 vẽ 9 Hiện chưa có đáp án tham khảo, cần sự hướng dẫn của giáo viên bồi dưỡng. 0,5 Chú ý: - Học sinh làm theo cách khác đúng cho điểm tương đương. - Đáp án chỉ để tham khảo cần học sinh lập luận chặt chẽ hơn.