Đề thi khảo sát chất lượng học sinh giỏi năm học 2024-2025 môn Toán 7 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi khảo sát chất lượng học sinh giỏi năm học 2024-2025 môn Toán 7 (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ VINH NĂM HỌC 2024 - 2025 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: Toán lớp 7 (Đề thi gồm có 01 trang) Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (4,5 điểm) 1. Tính giá trị các biểu thức sau: 3 3 3 1 1 1 a) A 4 11 13 2 3 4 5 5 5 5 5 5 4 11 13 4 6 8 1 1 1 1 b) B 1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 4) .... (1 2 3 ... 57) 2 3 4 57 25 24 ac a24 b 24 a 25 b 25 2. Cho các số dương a,,, b c d thỏa mãn và cd . Chứng minh: 24 24 25 24 bd ()cd cd25 25 Câu 2: (4,0 điểm) 3x 2 y 2 z 4 x 4 y 3 z a) Tìm x,, y z biết và x y z 18 4 3 2 b) Tìm tất cả các số tự nhiên xy, sao cho: 2x 2025 yy 2024 c) Tìm các số abc,,nguyên dương thỏa mãn aa32 3 5 5b và a 35c Câu 3: (3,5 điểm) 1. Cho đa thức f( x ) 2025 x4 30(25 k 20) x 2 k 2 100 (với k là số thực dương cho trước). Biết đa thức fx()có đúng ba nghiệm phân biệt abc,, với abc . Tính hiệu ac . 2. Hai ngọn nến hình trụ có chiều cao và đường kính khác nhau được đặt thẳng đứng trên mặt bàn. Ngọn nến thứ nhất cháy hết trong 6 giờ, ngọn nến thứ hai cháy hết trong 8 giờ. Hai ngọn nến được thắp sáng cùng lúc, sau 3 giờ chúng có cùng chiều cao. Giả sử tốc độ tiêu hao của hai cây nến khi cháy là không đổi. a) Tìm tỉ lệ chiều cao lúc đầu của hai ngọn nến. b) Biết tổng chiều cao lúc đầu của hai ngọn nến là 63cm . Tính chiều cao lúc đầu của mỗi ngọn nến. Câu 4: (6,0 điểm) Cho ABC có 3 góc nhọn, AB AC BC. Các tia phân giác của góc Avà góc C cắt nhau tại O . Kẻ OF BC ( F BC ), OH AC ( H AC ). Lấy điểm I trên đoạn FC sao cho FI AH. Gọi K là giao điểm của FH và AI. a) Chứng minh FCH cân; b) Qua I kẻ IG// AC G FH . Chứng minh: K là trung điểm của GH ; c) Chứng minh 3 điểm BOK,, thẳng hàng. Câu 5: (2,0 điểm) Người ta làm một nhà kính trồng cây thí nghiệm gồm 2 phần, phần dưới là một hình hộp chữ nhật có kích thước 4m, 8m, 12m và phần trên là một hình lăng trụ đứng có đáy tam giác cân với cạnh bên 5m, chiều cao ứng với cạnh đáy dài 3m (hình vẽ bên) được ghép hoàn toàn bằng kính cường lực. Biết rằng mỗi mét vuông kính cường lực có giá 800 nghìn đồng. Tính chi phí mua kính cường lực để ghép được ngôi nhà này (giả sử các chỗ ghép nối không đáng kể). . Hết .
2. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO KỲ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI TẠO THÀNH PHỐ VINH NĂM HỌC 2024 - 2025 Hướng dẫn chấm môn Toán 7 (Hướng dẫn chấm gồm có 04 trang) Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. Câu Đáp án Điểm 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 4 11 13 2 3 4 4 11 13 2 3 4 Ta có : A Câu 1a 5 5 5 5 5 5 1 1 1 5 1 1 1 5. (1,5 đ) 4 11 13 4 6 8 4 11 13 2 2 3 4 1 32 1 0,5 55 1 1 1 1 B 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 ...... 1 2 3 .... 57 2 3 4 57 1 2.3 1 3.4 1 4.5 57.58 B 1 . ....... 57. 0,5 Câu 1b 2 2 3 2 4 2 2 (1,5 đ) 3 4 58 1 1 ..... . 2 3 4 ...... 58 0,5 2 2 2 2 1 57.60 . 855 0,5 22 ac ab Vì a,,, b c d là các số dương và cd , mà nên bd cd a24 b 24 a 24 b 24 c24 d 24 c 24 d 24 0,25 25 25 a24 a 24 b 24 24 24 24 0,25 c c d 24 24 25 a24.25 ab (1) Câu 1c 24.25 24 24 25 c cd 0,25 (1,5 đ) a25 b 25 a 25 b 25 Lại có c25 d 25 c 25 d 25 0,25 24 24 25 25 24 a25 a 25 b 25 a25.24 ab 25 25 25 25.24 24 (2) c c d c cd25 25 0,25 25 24 a24 b 24 a 25 b 25 Từ (1) và (2) ()cd24 24 25 25 25 24 cd 0,25 3x 2 y 2 z 4 x 4 y 3 z Ta có : 4 3 2 4 3x 2 y 3 2 z 4 x 2 4 y 3 z 12x 8 y 6 z 12 x 8 y 6 z Suy ra 0 Câu 2a 16 9 4 29 0,5 (1,5 đ) 32x y x y 0 3xy 2 4 2 3 x y z 24z x x z 2 3 4 0 2zx 4 0,5 3 2 4
3. Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: x y z x y z 18 2 x 4; y 6; z 8 0,5 2 3 4 2 3 4 9 Ta có: 2xx 2025 y 2024 y 2 1 y 2024 y 2024 0,25 2AA ( 0) Mà AA 0(A 0) Câu 2b x x (1,5 đ) yy 2024 2024 là số chẵn => 21 là số chẵn => 2 lẻ => x = 0 0,5 Do đó: y 2024 y 2024 2 y 2024 1 y 2025 0,5 Vậy: (x,y) là (0,2025) 0,25 bc32 Do a 5 a 3 a 5 a 3 5 5b 5 c bc 5 b 5 c 0,25 a3 3 a 2 5 a 3 a 2 a 3 5 a 3 Mà a2 a 3 a 3 5 a 3 a 3 U (5) 1; 5 (1) Câu 2c 0,25 (1 đ) Do aa 3 4 2 Từ (1) và (2) aa 3 5 2 0,25 232 3.2 55;255 bb b 2 2 3 5c c 1 Vậy abc 2; 2; 1 0,25 Ta thấy đa thức fx()nếu có nghiệm xa (a khác 0) thì xa cũng là một 0,25 nghiệm của fx()nên fx()có 2m nghiệm Mà đa thức fx()có đúng ba nghiệm phân biệt nên một trong ba nghiệm sẽ Câu 3.1 2 bằng 0. Thay x 0 vào đa thức đã cho ta được: k 100 0 nên k 10 (vì k 0,25 (1,0 đ) dương) Với k 10 ta có f( x ) 2025 x4 8100 x 2 2025 x 2 .( x 2 4) 0 0,25 Từ đó fx()sẽ có 3 nghiệm phân biệt là a 2; b 0; c 2nên ac 4 0,25 Gọi chiều cao ban đầu ngọn nến thứ nhất là x cm Chiều cao ban đầu ngọn nến thứ hai là y cm Điều kiện: xy 0, 0 0,25 x Mỗi giờ cây nến thứ nhất giảm cm 6 xx Sau 3 giờ chiều cao cây nến thứ nhất còn: x 3. cm 0,25 Câu 62 3.2.a y (1,5 đ) Mỗi giờ cây nến thứ hai giảm cm 8 yy5 Sau 3 giờ chiều cao cây nến thứ hai còn: y 3. cm 88 0,25 x55 y x Vì sau 3 giờ cháy, hai cây nến có cùng chiều cao nên ta có: 0,5 2 8y 4 x 5 0,25 Vậy tỉ lệ chiều cao ban đầu của hai ngọn nến là y 4
4. Vì tổng chiều cao lúc đầu của hai ngọn nến là 63cm nên xy 63 0,25 x 5 xy 0,25 Theo câu a ta có: y 4 54 x y x y 63 0,25 Câu Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 7 3.2.b 5 4 5 4 9 (1 đ) Suy ra: x 5.7 35 (tm) y 4.7 28 (tm) Vậy chiều cao ban đầu của cây nến thứ nhất là 35cm ; chiều cao ban đầu cây nến thứ hai là 28cm . 0,25 A H E K O Câu 4a G (2 đ) C B F I CHO CFO 900 ( OH AC,) OF BC Ta có vì Xét CHO vuông và CFOvuông có: OC chung; HCO FCO( CO là phân giác C) 1,0 Vậy CHO CFO(cạnh huyền – góc nhọn) CH CF (hai cạnh tương ứng). Vậy FCH cân tại C 1,0 Ta có FCH cân tại C (cmt) CHF CFH(1) Mà CHF FGI (đồng vị, IG/ / AC ) (2) Từ (1) và (2) CFH FGI hay IFG IGF => IFGcân tại I 1,0 Câu 4b FI GI , mặt khác : FI AH nên GI AH() FI (2 đ) Ta lại có : IGK AHK; HAK GIK (so le trong , IG//) AC Xét AHK và IGK có: IGK AHK( cmt ); GI AH ( cmt ); HAK GIK ( cmt ) AHK IGK() gcg HK KG (hai cạnh tương ứng) Vậy K là trung điểm của GH 1,0 Kẻ OE AB tại E, Chứng minh được BO là tia phân giác của ABC (*) 0,5 Chứng minh được AB BI Theo câu b AHK IGK() gcg AK KI (hai cạnh tương ứng) Câu 4c Chứng minh được: ABK IBK(..) c c c (2 đ) 0,5 ABK IBK Từ đó suy ra BK là tia phân giác của ABC ** 0,5 Từ (*) và (**) suy ra tia BK, BO trùng nhau Hay BOK,, là ba điểm thẳng hàng. 0,5
5. Diện tích xung quanh của phần hình hộp chữ nhật là: 4.2.(8 +12) = 160 (m2) 0,5 Tổng diện tích hai mái nhà là: 2.12.5 = 120 (m2) 0,25 Tổng diện tích hai đáy của phần hình lăng trụ đứng tam giác là: Câu 5 3.8 0,25 2. 24 (m2) (2 đ) 2 Tổng diện tích kính cường lực cần phải sử dụng là: 160 +120 + 24 = 304 (m2) 0,5 Chi phí mua kính cường lực để ghép được ngôi nhà này là: 0,5 304. 800 = 243200 (nghìn đồng)