Đề thi học sinh giỏi cấp Huyện môn Toán 7 năm học 2021-2022 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp Huyện môn Toán 7 năm học 2021-2022 (Có đáp án)

1. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2021 - 2022 Môn: Toán 7 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (5 điểm) Tính giá trị của các biểu thức 2 2 3 3 2 1 3 a) A = .5 2 : 3 5 4 4 2 1 7 3 5 1 1 b) B = .2022 3 4 45 5 9 12 2022 a2018 b3.c a 6 b 5 c 8 c) C = . Biết và 2a + b – c = - 5 c2019 5 3 9 Câu 2: (4 điểm) 5 7 a) Tìm x, biết: 2x 1 4 8 x 2 9 b) Tìm x, biết: 4 x 2 c) Tìm x, y, z, biết: (2x – 3)2 + (4 – 3y)2 + (x – 2y + z)2 = 0 Câu 3: (5 điểm) a) Chứng minh: D = 3x+1 + 3x+2 + + 3x+8 chia hết cho 120 với mọi số tự nhiên x x y z b) Cho a, b, c, x, y, z khác 0 thỏa mãn: . a b c 2 a2 c2 b2 a b c Chứng minh rằng: x y z x y z c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = x 2020 x 2021 2022 Câu 4: (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D, sao cho CD = AC. Đường thẳng vuông góc với BC tại D cắt AB tại I. a) Chứng minh: DI = AI IB2 IC 2 BD2 CD2 b) Chứng minh: AI 2 2 c) Tia phân giác ngoài tại đỉnh B cắt đường thẳng CI tại H. Tính H· AC . --------- HẾT ---------
2. ĐÁP ÁN THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2021 - 2022 Môn: Toán 7 Điể Câu Nội dung m 2 2 3 3 2 1 3 A = .5 2 : 3 5 4 4 2 2 3 a 3 2 9 3 0,5 = 2 .5 : 3 3 (1đ) 5 4 4 92 43 = 32 . 3 = 9 – 12 – 3 = -6 0,5 42 33 2 1 7 3 5 1 1 B = .2022 3 4 45 5 9 12 2022 2 1 1 3 5 7 1 0,5 = .2022 b 3 4 12 5 9 45 2022 (2đ) 8 3 1 27 25 7 1 = .2022 12 45 2022 0,5 1 (5đ) 1 1 = 2 .2022 = 2.2022 + 1 = 4045 2022 a 6 b 5 c 8 2a 12 (2a 12) (b 5) (c 8) Ta có: 5 3 9 10 10 3 9 0,5 2a b c 9 5 9 1 0,5 4 4 Suy ra: a + 6 = 5 a = -1 c 0,5 (2đ) b + 5 = 3 b = -2 c + 8 = 9 c = 1 a2018 b3.c Thay vào biểu thức C = , ta được: c2019 ( 1)2018 ( 2)3.1 1 8 0,5 C = 7 12019 1 5 7 5 7 3 2x 1 2x 1 2x 1 4 8 4 8 8 0,5 3 5 5 a 2x 1 2x x (2đ) 8 8 16 1,5 3 11 11 2x 1 2x x 2 8 8 16 (4đ) x 2 6 x 4 b x 2 9 2 (x + 2) = 4.9 = 36 1 (1đ) 4 x 2 x 2 6 x 8 Vì (2x – 3)2 0; (4 – 3y)2 0; (x – 2y + z)2 0 nên: c (2x – 3)2 + (4 – 3y)2 + (x – 2y + z)2 = 0 khi 0,5 (1đ) (2x – 3)2 = 0; (4 – 3y)2 = 0; (x – 2y + z)2 = 0 2x – 3 = 0; 4 – 3y = 0; x – 2y + z = 0
3. 3 4 7 0,5 x = , y = , z = 2 3 6 Ta có: D = 3x+1 + 3x+2 + + 3x+8 a = (3x+1 + 3x+2 + 3x+3 + 3x+4) + (3x+5 + 3x+6 + 3x+7 + 3x+8) 0,5 (2đ) = 3x(3 + 32 + 33 + 34) + 3x+4(3 + 32 + 33 + 34) 0,5 = 120.3x + 120.3x+4 = 120.(3x + 3x+4)120. 1 x y z Đặt = k, ta có: x = ak, y = bk, z = ck a b c a2 a b2 b c2 c 0,5 , , b x k y k z k 3 (1,5đ) a2 b2 c2 a b c (a b c)2 (a b c)2 a b c ; 0,5 (5đ) x y z k x y z k(a b c) k a2 b2 c2 (a b c)2 Vậy 0,5 x y z x y z Ta có: M = x 2020 x 2021 2022 c = x 2020 2021 x 2022 x 2020 2021 x 2022 2023 1 (1,5đ) Vậy Mmin = 2023, đạt được khi (x – 2020)(2021 – x) 0 0,5 hay 2020 x 2021. - Vẽ hình 0,5 - Chứng minh được M B AIC = DIC D a (cạnh huyền – cạnh góc vuông) H P 1,5 (2đ) DI = AI I C N A Ta có: AI2 = DI2 = IC2 – CD2 (1) 0,5 2 2 2 2 b AI = DI = IB – BD (2) 0,5 4 (2đ) Cộng theo vế (1) và (2) ta được: (6đ) IB2 IC 2 BD2 CD2 2AI2 = IC2 + IB2 – (BD2 + CD2) AI 2 1 2 Gọi M, N, P lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến CB, CA, AB Vì AIC = DIC nên ·ACI D· CI CI là tia phân giác của ·ACB 0,5 H CI HM = HN (*) c Mặt khác H thuộc tia phân giác của góc ngoài của ABC tại đỉnh B (2đ) nên HM = HP (**) 0,5 Từ (*) và (**) suy ra HM = HP NHA = PHA (cạnh huyền – cạnh góc vuông) 0,5 H· AN H· AP H· AN = 450 H· AC = 1350 0,5 * Lưu ý: HS làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa