Đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2023-2024 môn Toán 7 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2023-2024 môn Toán 7 (Có đáp án)

1. KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2022-2023 MÔN THI: TOÁN - LỚP 7 I. PHẦN GHI KẾT QUẢ Câu 1: Các số nguyên x thõa mãn: (x2 +7x+2)  x+7 là: 9 5 2 4 0 1 0 2 Câu 2: Chữ số tận cùng của 198 187 là ................. Câu 3: Gía trị nguyên lớn nhất của x thỏa mãn 2x 7 = 7 − 2x là Câu 4: Tìm x biết: 10 x 25.2 x 4.5 x 100 Câu 5: Số 1,2(25) được viết dưới dạng phân số tối giản với mẫu số bằng: A. 999 B. 990 C. 99 D. 9 Câu 6: Trong các phân số sau (với n ∈ Z *), phân số nào viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn: 3n2 3n A. 7n 5 B. 6n 1 C. D. 11n 1 14n 12n 12 11 Câu 7: Cho tam giác ABC có góc B bằng 450, góc C bằng 1200. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB. Tính góc ADB. Câu 8: Cho n (n > 2) đường thẳng cắt nhau. Có 72 cặp góc đối đỉnh được tạo thành (không kể các góc bẹt). Tính n? II. PHẦN TỰ LUẬN Câu 9: (3,0 điểm) 1. Tính giá trị biểu thức: ( 3)2 ( 3)2 ( 3)2 1 1 3 A = 2 9 11 5 13 10 ; 2 2 2 3 1 0,4 9 121 13 5 4 6 9 7 13 23 B = 7.31 7.41 10.41 10.57 57.14 14.93 2. Biết rằng: M = x2 + 9x – 1.Tính giá trị của M khi x thỏa mãn: (x - 3)2 +(x2 - 9)2 = 0 Câu 10: (3,5 điểm) 1. Tìm x biết: x2 x 1 x2 2023 2 2 2. Tìm x; y; z biết: (x 2) + (y 2) + x y z = 0 3. Tìm 2 số tự nhiên biết tích bằng 432 và ƯCLN bằng 6 Câu 11: (3,5 điểm) 1. Cho a, b, c, d Z thỏa mãn a3 b3 8 c3 2d3 . Chứng minh a + b + c + d chia hết cho 3 2. Tìm tất cả các số tự nhiên a, b sao cho : 2(2a 1 41) b b 35 Câu12: (5,0 điểm) Cho ABC có ba góc nhọn, trung tuyến AM. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C, vẽ đoạn thẳng AE vuông góc và bằng AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa điểm B, vẽ đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AC. a/ Chứng minh: BD = CE b/ Trên tia đối của tia MA lấy N sao cho MN = MA. Chứng minh: ADE = CAN. c/ Gọi I là giao điểm của DE và AM. Chứng minh: AI  DE
2. 3 4 2023 Câu 13: (1,0 điểm) Cho P = ... . 1! 2! 3! 2! 3! 4! 2021! 2022! 2023! 1 Chứng minh : P 2 *************HẾT************** Thí sinh không được sử dụng tài liệu, giám thị không được giải thích gì thêm
3. KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC: HƯỚNG DẪN CHẤM 2023-2024 MÔN THI: TOÁN - LỚP 7 Hướng dẫn chấm gồm có 04 trang I. PHẦN GHI KẾT QUẢ (4 điểm; mỗi câu 0,5 điểm) CÂU Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4 Câu 5 Câu 6 Câu 7 Câu 8 ĐÁP -6;-5; 7 3 2 B C 750 9 ÁN -8;-9 II. PHẦN TỰ LUẬN Câu Ý Nội dung Điểm ( 3)2 ( 3)2 ( 3)2 1 1 3 = 2 9 11 5 13 10 2 2 2 3 1 0,4 a 9 121 13 5 1 1 1 1 1 3 ( 3)2 ( ) 3 1 2 9 11 5 13 10 1 1 1 21 2 2 6 2( ) 2 2 1 2 9 11 5 13 10 4 6 9 7 13 23 B = Câu 9 7.31 7.41 10.41 10.57 57.14 14.93 B 4 6 9 7 13 23 1 1 2 (3điểm) b 5 35.31 35.41 50.41 50.57 57.70 70.93 31 93 93 Vậy: B = 2 93 1 (x 3)2 0 x,  2 2 (x 9) 0 Nên: (x - 3)2 +(x2 - 9)2 = 0 c (x 3)2 0 x 3 0 x 3 x 3 2 2 2 (x 9) 0 x 9 0 x 3 Khi đó: M = 32 9.3 1 35 1 x2 x 1 x2 2023(1) 0,25 2 x 0 2 Do: x x 1 0 0,25 x 1 0 a 2 2 Nên (1) x x 1 x 2023 x 1 2023 0,25 x 1 2023 x 2024 x 1 2023 x 2022 0,25 Câu 10 Vậy: x = 2024 hoặc x = - 2022 0,5 (3,5 điểm) Vì (x 2 ) 2 0 với  x ; (y 2) 2 0 với  y ; 0,25 x y z 0 với  x, y, z Suy ra đẳng thức đã cho tương đương 0,25 (x 2) 2 0 b x 2 2 (y 2) 0 y 2 0,25 z 0 x y x 0 0,25
4. Gọi hai số cần tìm là a và b. Ta có a.b =432 và ƯCLN(a,b) = 6 (Giả sử a b) Đặt a = 6m; b = 6n với (m,n) =1 và m n Suy ra: 36mn = 432 nên mn = 12 c Ta có bảng sau: 1 m n a b 1 12 6 72 3 4 18 24 Vậy hai số cần tìm là 6 và 72 hoặc 18 và 24 a3 b3 8 c3 2d3 a3 b3 8c3 16d 3 a3 b3 c3 d 3 9c3 15d 3 a a3 b3 c3 d 33(1) (a3 a) (b3 b) (c3 c) (d 3 d) a(a 1)(a 1) b(b 1)(b 1) c(c 1)(c 1) d(d 1)(d 1) 1,5 Vì a(a-1)(a+1) là tích ba số nguyên liên tiếp nên Câu 11 a(a-1)(a+1)  3 (3,5điểm) (a3 a) (b3 b) (c3 c) (d 3 d) Ta có: a3 b3 c3 d 3 (a b c d)3(2) Kết hợp (1) và (2) Ta có a + b + c + d  3 Bài toán phụ: x x là số chẵn với x Z. . Thật vậy: + Với x ≥ 0 thì x + x = 2x + Với x < 0 thì x + x = 0. 0,5 Do đó x + x luôn là số chẵn với  x Z. Từ: 2(2a 1 41) b b 35 2a 47 b 35 b 35 0,5 b Áp dụng bài toán phụ trên thì b 35 b 35 là số chẵn với b Z. Suy ra 2a + 47 là số chẵn 2a lẻ a = 0 . 0,5 Khi đó b 35 b 35 = 48 + Nếu b < 35 ta có: - (b–35) + b – 35 = 48 0 = 38 (loại) + Nếu b ≥ 35 , ta có 2(b – 35) = 48 0,5 b – 35 = 24 b = 59 (thỏa mãn) Vậy (a; b) = (0; 59)
5. Câu 12 A (5điểm) P E I D B M C N Xét ABD và ACE có: AD = AC (gt) 0,5 AE = AB (gt) a 0,5 B· AD C· AE (Cùng phụ với B· AC ) Do đó ABD = AEC (c.g.c) 0,5 BD = CE (Hai cạnh tương ứng) Xét ABM và NCM có AM = MN (gt) ; BM = CM (gt) A· MB A· MC (đối đỉnh) ABM = NCM (c.g.c) AB = CN (hai cạnh tương ứng) A· BM N· CM (Hai góc tương ứng) 0,5 0,5 Ta có A· CN A· CB B· CN A· CB A· BC 1800 B· AC b · · · · 0 · Lại có DAE DAC BAE BAC 180 BAC 0,5 D· AE A· CN Xét ADE và ACN có CN = AE (cùng bằng AB) 0,5 AC = AD (gt) D· AE A· CN (cmt) ADE = CAN (c.g.c) Vì ADE = CAN (cmt) N· AC A· DE (Hai góc tương ứng) Gọi P là giao điểm của DE và AC 0,5 · · 0 c Xét ADP vuông tại A ADE APD 90 N· AC A· PD 900 0,5 AI  DE 0,5
6. Ta chứng minh: n 2 1 1 n! (n 1)! (n 2)! (n 1)! (n 2)! n 2 n 2 n 2 n! (n 1)! (n 2)! n!(1 n 1) (n 2)! n!(n 2) (n 2)! 0,25 n 2 1 1 1 n 2 1 (n 2)[n! (n 1)] n! (n 1)! n!(1 n 1) n!(n 2) n!(n 1)(n 2) (n 2) 1 1 1 Câu 13 (n 2)! (n 1)! (n 2)! (1điểm) Áp dụng kết quả trên ta có: 0,25 1 1 1 1 1 1 1 1 P ... 2! 3! 3! 4! 2022! 2023! 2! 2023! 1 1 1 1 Do >0 nên 2023! 2! 2023! 2! 0,25 1 0,25 Vậy P 2 Thí sinh trình bày cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa!