Đề thi chọn học sinh giỏi cấp Huyện năm học 2024-2025 môn Toán 7 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp Huyện năm học 2024-2025 môn Toán 7 (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT LÂM THAO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2024 – 2025 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 90 phút không kể thời gian phát đề (Đề thi gồm 02 trang) I. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN: (6,0 điểm) 2 Câu 1. Giá trị của x trong biểu thức: x 1 0,25 là 9 1 9 1 9 1 9 1 A. ; . B. ; . C. ; . D. ; . 4 4 4 4 4 4 4 4 Câu 2. Cho x, y là các số thỏa mãn (x 3)2024 | 2x 3y 9 | 0 . Giá trị của biểu thức A 3x 4y là A. 3. B. 5 . C. 9 . D. 13. Câu 3. Biết 50 người thợ may xong một lượng quần áo trong 12 ngày. Hỏi 30 người thợ may hết lượng quần áo đó trong bao nhiêu ngày? (Giả sử năng suất làm việc của mỗi người thợ là như nhau). A. 10 ngày. B. 15 ngày. C. 20 ngày. D. 25 ngày. x y y z 2x 3y 4z Câu 4. Cho ; . Giá trị của biểu thức M là 3 4 5 6 3x 4y 5z 168 186 168 186 A. . B. . C. . D. . 254 254 245 245 Câu 5. Cho đa thức F x thỏa mãn điều kiện F x1.x2 F x1 .F x2 và F 2 5. Khi đó F 16 bằng A. 5 . B. 25. C. 125 . D. 625 . Câu 6. Cho đa thức f (x) x2 3x a . Giá trị của a để đa thức f (x) chia hết cho đa thức x 2 là A. 2. B. 10 . C. 2 . D. 10. Câu 7. Cho hình vẽ, biết AB / /EF và B 0 0 0 ·ABC 60 , B· CD 130 ,C· DE 140 . Số đo 600 D 0 0 D· EF bằng 130 140 C E A. 1050. B. 1100. 0 0 C. 115 . D. 120 . A F Câu 8. Cho tam giác ABC . Vẽ đoạn thẳng AD vuông góc với AB ( D và C nằm khác phía với AB ), AD AB . Vẽ đoạn thẳng AE vuông góc với AC ( E và B nằm khác phía với AC ), AE AC . Biết rằng DE BC . Khi đó B· AC bằng A. 900 . B. 600 . C. 450 . D. 1200 . Câu 9. Cho tam giác ABC cân tại A, có µA 1200 ;BC 6cm . Đường vuông góc với AB tại A cắt BC ở D . Độ dài đoạn thẳng BD bằng A. 2cm . B. 4cm . C. 5cm . D. 6cm.
2. 2 Câu 10. Cho tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I . Khẳng định nào sau đây đúng? µA µA Bµ Cµ A. B· IC 90  B. B· IC 90  C. B· IC 90  D. B· IC 90  2 2 2 2 Câu 11. Cho tam giác ABC vuông tại A, có trọng tâm G . Biết BC 6cm . Khi đó AG bằng A. 1,5cm. B. 2cm. C. 1cm. D. 3cm. a Câu 12. Gieo ngẫu nhiên một con xúc xắc một lần. Gọi (với a,b nguyên tố cùng nhau) là b xác suất của biến cố “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là số chia hết cho 2 ”. Giá trị của biểu thức 2025a 4b 4 là A. 2029. B. 4029. C. 2024. D. 2025. II. PHẦN TỰ LUẬN: (14,0 điểm) Câu 1. (3,0 điểm) 1.1. Chứng minh rằng A 75 42025 42024 ... 42 4 1 25 chia hết cho 100 . 1.2. Tìm các số nguyên tố p thỏa mãn 2 p p2 là số nguyên tố. Câu 2. (4,0 điểm) 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d 2.1. Cho dãy tỉ số (với a b c d a b b c c d d a a,b,c,d 0 ). Chứng minh rằng biểu thức Q có giá trị là số c d d a a b b c nguyên. 2.2. Cho đa thức f x ax3 bx2 cx d với a,b,c,d ¢ . Biết f x 5 với mọi x ¢ . Chứng minh rằng a,b,c,d đều chia hết cho 5. Câu 3. (5,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm BC . Lấy điểm D trên đoạn thẳng AB ( D khác A và B ), trên tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho CK BD ; DK cắt BC tại I . Kẻ DP vuông góc với BC tại P và KQ vuông góc với BC tại Q . a) Chứng minh rằng: BDP CKQ và I là trung điểm DK . b) Đường vuông góc với DK tại I cắt AM tại S . Tính góc S·CK ? c) Đường thẳng vuông góc với MD tại M cắt AC tại E . Chứng minh rằng: MD ME AD AE . Câu 4. (2,0 điểm) 2 14 Tìm các cặp số nguyên x; y thỏa mãn x y 2 7 y 1 y 3 ------------------------------ Hết----------------------------- Họ và tên thí sinh :............................................................... Số báo danh .................. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
3. 3 PHÒNG GD&ĐT LÂM THAO ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN I. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN: (6,0 điểm) Mỗi câu đúng được 0,5 điểm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A B C D D C B A B A B A II. PHẦN TỰ LUẬN: (14,0 điểm) Câu 1. (3,0 điểm) 1.1. Chứng minh rằng A 75 42025 42024 ... 42 4 1 25 chia hết cho 100 . 1.2. Tìm các số nguyên tố p thỏa mãn 2 p p2 là số nguyên tố. 1.1 (1,5 điểm). Chứng minh rằng A 75 42025 42024 ... 42 4 1 25 chia hết 1,5 cho 100 . Đặt B 42025 42024 ... 42 4 1 Ta có 4B 42026 42025 ... 43 42 4 0,75 42026 1 Lấy 4B B 42026 1 B thay vào biểu thức A ta được 3 42026 1 A 75. 25 25 42026 1 25 25.42026 100.42025 100 0,75 3 1.2 (1,5 điểm). Tìm các số nguyên tố p thỏa mãn 2 p p2 là số nguyên tố. 1,5 Với p 2 2 p p2 22 22 8 là hợp số => loại 0,5 Với p 3 2 p p2 23 32 17 là số nguyên tố => thỏa mãn Với p 3, vì p là số nguyên tố nên p lẻ, do đó p 2k 1 k ¥ ,k 1 0,25 2 p 22k 1  2 mod3 0,25 Ta có: 2 p 1 mod3 0,25 2 p p2  0 mod3 2 p p2 3 và lớn hơn 3 nên 2 p p2 là hợp số => loại Vậy p 3 0,25 Câu 2. (4,0 điểm) 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d 2.1. Cho dãy tỉ số (với a b c d a b b c c d d a a,b,c,d 0 ). Chứng minh rằng biểu thức Q có giá trị là số c d d a a b b c nguyên. 2.2. Cho đa thức f x ax3 bx2 cx d với a,b,c,d ¢ . Biết f x 5 với mọi x ¢ . Chứng minh rằng a,b,c,d đều chia hết cho 5. 3
4. 4 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d 2.1. Cho dãy tỉ số a b c d a b b c c d d a 2,0 (với a,b,c,d 0 ). Chứng minh rằng biểu thức Q có c d d a a b b c giá trị là số nguyên. 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d Từ suy ra a b c d 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d 1 1 1 1 0,5 a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d k a b c d - Nếu a b c d 0 a b c d 0,75 Khi đó Q 1 1 1 1 4 ¢ a b c d b c d a - Nếu a b c d 0 c d a b 0,75 d a b c Khi đó Q 1 1 1 1 4 ¢ Vậy giá trị của biểu thức Q là số nguyên 2.2. Cho đa thức f x ax3 bx2 cx d với a,b,c,d ¢ . Biết f x 5 với mọi 2,0 x ¢ . Chứng minh rằng a,b,c,d đều chia hết cho 5. Vì f x 5 với mọi x ¢ nên Với x 0 f 0 d5 0,25 Với x 1 f 1 a b c d5 mà d5 a b c5 (1) 0,25 Với x 1 f 1 a b c d5 mà d5 a b c5 (2) 0,25 Từ (1) và (2) say ra 2b5 mà 2,5 1 b5 0,25 Với x 2 f 2 8a 4b 2c d5 mà b,d5 8a 2c5 (3) 0,25 Từ (1) suy ra a c5 2a 2c5 (4) 0,25 Từ (3) và (4) suy ra 6a5, mà 5,6 1 a5 c5 0,25 0,25 Vậy a,b,c,d đều chia hết cho 5. Câu 3. (5,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm BC . Lấy điểm D trên đoạn thẳng AB ( D khác A và B ), trên tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho CK BD ; DK cắt BC tại I . Kẻ DP vuông góc với BC tại P và KQ vuông góc với BC tại Q . a) Chứng minh rằng: BDP CKQ và I là trung điểm DK . b) Đường vuông góc với DK tại I cắt AM tại S . Tính S·CK ? 4
5. 5 c) Đường thẳng vuông góc với MD tại M cắt AC tại E . Chứng minh rằng: MD ME AD AE . Vẽ hình, viết GT, KL B S 1 P D M 0,25 I 1 2 1 A E C 2 K Q a) Chứng minh rằng: BDP CKQ và I là trung điểm DK . 1,75 µ µ 0 ¶ µ Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên B1 C1 45 , mà C2 C1 (2 góc đối đỉnh) nên µ ¶ B1 C2 Xét tam giác BDP và tam giác CKQ, ta có BD = CK (gt) B· PD C· QK 900 Bµ C¶ 1 2 1,0 Suy ra BDP CKQ (CH-GN) => DP = KQ (cạnh tương ứng) Ta có DP // KQ (cùng vuông góc với BC) => P· DI Q· KI Xét tam giác DPI và tam giác KQI, ta có DP = KQ (cmt) D· PI K· QI 900 0,75 P· DI Q· KI cmt Suy ra DPI KQI (g.c.g) => DI = KI (cạnh tương ứng) => DI = KI (cạnh tương ứng) => I là trung điểm của DK b) Đường vuông góc với DK tại I cắt AM tại S . Tính S·CK ? 2,0 Vì AM là trung tuyến trong tam giác cân nên AM cũng là phân giác của góc A Chứng minh ABS ACS c.g.c ·ABS ·ACS 1 và SB = SC 1,0 Vì S thuộc trung trực của DK => SD = SK Chứng minh SBD SCK c.c.c S· BD S·CK hay ·ABS S·CK 2 1,0 Từ (1) và (2) suy ra ·ACS S·CK ,mà ·ACS S·CK 1800 ·ACS S·CK 900 c) Đường thẳng vuông góc với tại cắt tại . Chứng minh rằng: MD M AC E 1,0 MD ME AD AE . 5
6. 6 B S 1 P D M H F I 1 2 1 A E C 2 K Q Gọi giao điểm của DM với SC là F. Chứng minh MDB = MFC MD = MF M là trung điểm của DF Từ F kẻ FH  AB tại H. 0,25 Chứng minh FAH = AFC FH = AC 0,25 Do AMD = CME AD = CE AD + AE = AC. Do MD = ME nên MD + ME = 2MD = DF 0,25 Mặt khác DF HF DF AC hay MD + ME AD + AE Dấu “=” khi MD  AB. 0,25 2 14 Câu 4. (2,0 điểm). Tìm các cặp số nguyên x; y thỏa mãn x y 2 7 y 1 y 3 Vì x y 2 2 0 x y 2 2 7 7 14 14 và y 1 y 3 y 1 3 y y 1 3 y 2 7 y 1 y 3 2 dấu “=” xảy ra khi y 1 3 y 0 1 y 3 1,0 x y 2 2 7 7 x y 2 0 x 2 y nên theo bài ra ta có: 14 (do x, 7 1 y 3 y 1;2;3 y 1 y 3 y nguyên) 1,0 Vậy x; y 1;1 ; 0;2 ; 1;3  ------------------------------ Hết----------------------------- Lưu ý: HS làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa 6