Đề khảo sát học sinh giỏi môn Toán 7 năm học 2023-2024 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát học sinh giỏi môn Toán 7 năm học 2023-2024 (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN YÊN MÔ ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO MÔN THI: TOÁN NĂM HỌC 2023 - 2024 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài:120 phút Đề thi gồm 05 câu, trong 02 trang Câu 1. (4,0 điểm): 1. Thực hiện các phép tính sau: 0 2 1 25 2023 −34  7 − 47  7 a) 11−− 72 1 : − b) + :: ++  2 4 2024 7 11  11 7 11  11 212 .3 5−− 4 6 .9 2 5 10 .7 3 25 5 .49 2 − c) 63 (22 .3) (125.7) + 593 .14 11 1 25 2. Cho biểu thức: A = + +⋅⋅⋅+ . Chứng minh rằng A < . 49 10002 36 Câu 2. (4,0 điểm): 2024 1. Tính giá trị biểu thức A=( x − 2y ++ z 25) biết 3x= 4y =−− 5z 3x 4y và 2x+=− y z 19 x+ 2y 2023 2. Cho x,y là các số nguyên dương thỏa mãn = . Tìm giá trị nhỏ nhất của x . x+ y 2022 Câu 3. (4,0 điểm): x y 3x22− 10y 1. Cho = ≠ 0 . Tính giá trị của biểu thức M = 53 3x22+ 5y 2. Tìm tất cả các cặp số nguyên x, y sao cho: x+− y 2xy = 4 3. Gieo ngẫu nhiên một con xúc xắc 1 lần, tìm xác suất của mỗi biến cố sau: a) “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là số nguyên tố”. b) “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là hợp số”. Câu 4. (6,0 điểm): 1. Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi I là giao điểm BE và CD. Chứng minh rằng: a) ∆ ABE = ∆ ADC. b) DE = BE
2. c) EIC = 600 và IA là tia phân giác của DIE 2. Một bể bơi được xây dựng thành hai khu vực với độ sâu khác nhau cho trẻ em và người lớn và các kích thước của lòng bể được cho như hình vẽ. 25 m 10 m 3 m 1,4 m 10 m 8 m Hỏi sau bao lâu bể bơi được bơm đầy nước, biết cứ mỗi phút máy bơm được vào bể 500 lít nước. Câu 5. (2,0 điểm): 1. Mỗi ô vuông đơn vị của bảng kích thước 10× 10 ( 10 dòng, 10 cột) được ghi một số nguyên dương không vượt quá 10 sao cho bất kỳ hai số nào ghi trong hai ô chung cạnh hoặc hai ô chung đỉnh của bảng là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng tồn tại một số được ghi ít nhất 17 lần. 3 8 15 n2 − 1 2. Chứng tỏ rằng S = + + +⋅⋅⋅+ không là số tự nhiên với mọi n ∈ N, n > 2. 4 9 16 n2 --------------Hết------------
3. UBND HUYỆN YÊN MÔ HDC ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO MÔN THI: TOÁN NĂM HỌC 2023-2024 Thời gian làm bài:120 phút Câu Nội dung Điểm Câu 1 1. (3,0 điểm) (4,0 0 0,5 2 1 25 2023 điểm) a) 11−− 72 1 : − 2 4 2024 35 32 =121 −− 72 : − 1 =−−49 . 1 22 25 3 3 27 0,5 =−−71=6 − = 5 5 5 −34  7 − 47  7 b)A = + :: ++  7 11  11 7 11  11 −3 4  11 − 4 7  11 = + .. ++  0,5 7 11  7 7 11  7 11− 3 4  − 4 7  = ++  +  7 7 11  7 11  11− 3 − 4   4 7  0,5 = +  ++  7 7 7  11 11  11 11 = −( 1) + 1 = .0 = 0 77 212 .3 5−− 4 6 .9 2 5 10 .7 3 25 5 .49 2 0,5 − c) 63 (22 .3) (125.7) + 593 .14 212 .3 5−− 2 12 .3 4 5 10 .7 3 5 10 .7 4 = − 2126 .3 5 93 .7+ 5 933 .7 .2 212 .3 4 ( 3−− 1) 510 .7 3 ( 1 7) = − 212 .3 6 593 .7( 1+ 2 3) 10 3 212 .3 4 .2 5 .7(− 6) 0,5 = − 12 6 9 3 2 .3 5 .7 .9 2 5.(− 6) 2− 30 32 =− =−= 32 9 99 9 2. (1,0 điểm) 11 1 1 1 0,25 A <++ + +..... + 4 9 3.4 4.5 999.1000 111 1 0,25 A <++− 4 9 3 1000 25 1 25 0,25 A <− < 36 1000 36 25 0,25 Vậy A < 36 Câu 2 1. (2,0 điểm)
4. (4,0 Ta có: 3x= 4y =−− 5z 3x 4y điểm) 3x 4y 5z−− 3x 4y 3x ++−− 4y 5z 3x 4y 5z 0,5 ⇒== = = 1 1 1 111++ 3 3x4y 5z 0,25 ⇒== 113 xzy 0,25 ⇒== 20 15 36 Lại có: 2x+=− y z 19 ⇒2x +−=− y z 19 0,25 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 0,25 xy z 2x+− y z −19 = = = = = −1 20 15 36 2.20+− 15 36 19 Suy ra: x=−=−=− 20; y 15; z 36 2024 0,5 Vậy A=−+−( 20 30 36 + 25) = 1 2. (2,0 điểm) x+ 2y 2023 x++ 2y x y 0,25 Từ = suy ra = x+ y 2022 2023 2022 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 0,25 x++ 2y x y (x+ 2y) −+( x y) = = = y 2023 2022 2023− 2022 Khi đó: x+= y 2022y 0,5 Hay x= 2021y Để x đạt GTNN khi 2021y đạt GTNN. 0,5 Mặt khác x,y là các số nguyên dương nên GTNN của y là 1. 0,25 Khi đó GTNN của x là 2021. 0,25 Câu 3 1. (1,5 điểm) (4,0 x y Đặt = =k,(k ≠ 0) ⇒= x 5k,y = 3k . điểm) 53 0,5 3x22− 10y 3(5k)22− 10(3k) 0,25 Ta có M = = 3x22++ 5y 3(5k) 2 5(3k) 2 75k22− 90k −− 15k 2 1 0,75 = = = (vì k0≠ ). 75k22+ 45k 120k 28 2. (1,5 điểm) Ta có: x+− y 2xy = 4 suy ra x− 2xy +−= y 4 0 0,25 ⇔−2x 4xy +−=⇔− 2y 8 0 2x 4xy +−= 2y 1 7 0,25 ⇔2x( 1 −−−=⇔− 2y) ( 1 2y) 7( 2x 1)( 1 −= 2y) 7 0,25 Lập bảng 2x− 1 1 7 -1 -7 1− 2y 7 1 -7 -1 0,5 x 1 4 0 -3
5. y -3 0 4 1 Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Vậy (x; y) {()()()()1;−∈ 3 ; 4; 0 ; 0;4 ;− 3; 1 } 0,25 3. (1,0 điểm) a) Tập hợp gồm các kết quả có thể xảy ra đối với số chấm xuất hiện khi 0,5 gieo xúc xắc là: B= {} 1;2;3;4;5;6 Số phần tử của tập hợp B là 6. Có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là số nguyên tố” là 2, 3, 5. Vì thế xác xuất của biến cố đó là 31 = 62 b) Có 2 kết quả thuận lợi cho biến cố “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số 0,5 21 chấm là hợp số” là 4, 6. Vì thế xác xuất của biến cố đó là = 63 Câu 4 1. (4,0 điểm) (6,0 điểm) 0,5 a. (1,5 điểm) 0 00 0 DAC =+=+= A1 90 60 90 150 Ta có:  ⇒=DAC BAE 0,75  0 00 0 BAE=+=+= A2 90 60 90 150 Xét  ADCvà  ABE có: DA = BA (gt) DAC = BAE (Chứng minh trên) 0,75 AC = AE (gt) ⇒  ADC =  ABE (c – g – c) b. (1,0 điểm) 0 Ta có: A31++ A BAC + A 2 = 360 0,5  000 0 ⇔ A3 +++= 60 90 60 360 0 ⇔ A 3 = 150
6. 0 ⇒ A 3 = BAE = 150 Xét  DAE và  BAE có: 0,5 DA = BA (gt) A 3 = BAE ( Chứng minh trên) AE: Cạnh chung ⇒  DAE =  BAE (c – g – c) ⇒ DE = BE (hai cạnh tương ứng) c. (1,5 điểm)   * Ta có:  DAC =  BAE (CM câu a) ⇒ E1 = C1 (hai góc tương ứng)   0 Lại có: I12++ E ICE = 180 (Tổng 3 góc trong  ICE) 0 ⇔ I11+ (AEC −++ E ) (C12 C ) = 180 0,5 0 00 ⇔ I11+ 60 −++ E C1 60 = 180  00  ⇔ I1 += 120 180 (Vì E1 = C1 ) 0 ⇔ I1 = 60 * Vì  DAE =  BAE (chứng minh câu b) ⇒ E1 = E 2 ( hai góc tương ứng) ⇒ EA là tia phân giác của DEI (1) ∆=∆DAC BAE 0,5 Vì  ⇒  DAC =  DAE ⇒ D1 = D 2 (Hai góc ∆=∆DAE BAE tương ứng) ⇒ DA là tia phân giác của EDC (2) Từ (1) và (2) ⇒ IA là đường phân giác thứ ba trong  DIE hay IA là 0,5 tia phân giác của DIE 2. (2,0 điểm) B 25 m C E 10 m C'3 m B' M N A D 1,4 m F A' D' 10 m 0,5 Q 8 m P Để tính thể tích bể bơi, ta tính thể tích hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' và hình lăng trụ đứng EC'NM.FD'PQ có đáy là hình thang vuông. Thể tích hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' là: 10.25.1,4= 350 (m3) Thể tích hình lăng trụ đứng EC'NM.FD'PQ là: 1 0,5 .( 25−+ 10) 8 .( 3 − 1,4) .10 = 184 (m3) 2  Thể tích bể bơi là: 350+= 184 534 (m3) 0,25 Đổi 534 m3 = 534 000 lít 0,25 Thời gian bể bơi được bơm đầy nước là: 0,25
7. 534 000 : 500= 1 068 (phút) Vậy sau 17 giờ 48 phút thì bể được bơm đầy nước. 0,25 Câu 5 1. (1,0 điểm) (2,0 Chia bảng lớn thành 25 hình vuông kích thước 22× . Do bất kỳ hai số 0,5 điểm) nào ghi trong 2 ô chung cạnh hoặc hai ô chung đỉnh của bảng là hai số nguyên tố cùng nhau nên mỗi hình vuông nhỏ kích thước 22× chỉ có không quá một số chia hết cho 2 và có không quá một số chia hết cho 3 Vì vậy 100 số ghi trong bảng, sẽ có không quá 25 số chia hết cho 2 và 0,25 có không quá 25 số chia hết cho 3, nên còn ít nhất 100−= 25.2 50 số nguyên tố cùng nhau với 2 và 3 mà không vượt quá 10. Suy ra 50 số này phải thuộc tập hợp {1;5;7}. Do 50= 16.3 + 2 nên theo 0,25 nguyên lý Dirichlet tồn tại ít nhất 16+= 1 17 số bằng nhau, tức là có ít nhất 1 số xuất hiện 17 lần trong bảng 2. (1,0 điểm) 3 8 15 n2 − 1 2222−−− 13 14 1 n 2 − 1 0,25 S = ++ ++... = + + ++... 4 9 16 n2 234222 n 2 111 1 = 1− +− 1 +− 1 + ... +− 1 234222 n 2 111 1 = (1+++ 1 1 ... + 1) − + + +... + 234222 n 2 111 1 = (n−− 1)  + + ++... ⇒ S < n – 1 (1) 234222 n 2 1 1 1 1 1 1 1 1 0,25 Nhận xét: < ; < ; < ; ; < 22 1.2 32 2.3 42 3.4 n2 (n− 1).n 111 1 1 1 1 1 1 ⇒ + + ++... < + + + + = 1– < 234222 n 21.2 2.3 3.4 (n− 1).n n 1. 111 1 111 1 0,25 ⇒ − + + ++... >-1 ⇒ (n−− 1)  + + ++... 234222 n 2 234222 n 2 > (n–1)–1= n – 2 ⇒ S > n – 2 (2) Từ (1) và (2) suy ra n – 2 < S < n – 1 hay S không là số tự nhiên. 0,25 ....................... Hết .......................