Đề khảo sát học sinh giỏi cấp Huyện năm học 2023-2024 môn Toán 7 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát học sinh giỏi cấp Huyện năm học 2023-2024 môn Toán 7 (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học 2023 -2024 Môn: TOÁN 7 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1 (4,0 điểm). 2 2 1 2 1 1) Thực hiện phép tính: 3 ( 5) 0,5. . 9 : 1 3 3 3 212.35 46.92 510.73 255.492 2) Rút gọn biểu thức: A 212.36 84.35 1253.73 59.143 Bài 2 (4,5 điểm). 1) Cho các số a, b, c, d khác 0 và a b c d 0 , 5c d 0, 2d b 0 a b c d 3a b 2b 3c thỏa mãn . Tính giá trị biểu thức M . b c d a 5c d 2d b 2) Cho đa thức f(x) = ax2 bx c với a, b, c là các số nguyên. Biết rằng f(2), f(0), f(-2) đồng thời chia hết cho 3. Chứng minh a, b, c đều chia hết cho 3. 3) Tìm các cặp số (x; y) thỏa mãn x 1 2024 2x y 1 2023 0 Bài 3 (3,5 điểm). 1) Tổng số học sinh ba lớp 7A, 7B, 7C của một trường THCS là 94 học sinh. Nếu chuyển 1 học sinh từ lớp 7A và 3 học sinh từ lớp 7B sang lớp 7C thì số học sinh của ba lớp 7A, 7B, 7C lần lượt tỉ lệ nghịch với 4; 5; 3. Tính số học sinh lúc đầu của mỗi lớp. 2x 3 2) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức P (với x 1) đạt giá trị lớn nhất. x 1 Bài 4 (6,0 điểm). 1) Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), kẻ tia phân giác AI (I BC) của góc BAC. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = AB. a) Chứng minh IB = ID. b) Tia DI cắt tia AB tại E, tia AI cắt tia EC tại H. Chứng minh H là trung điểm của EC. 2) Cho tam giác ABC vuông tại C, kẻ CH vuông góc với AB (H AB). Chứng minh AC + BC < AB + CH. Bài 5 (2,0 điểm). Tìm các cặp số tự nhiên (m; n) sao cho 2m.3n 1 là số chính phương. Hết Họ và tên thí sinh: . Phòng thi: Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Chữ kí cán bộ coi thi số 1: Chữ kí cán bộ coi thi số 2:
2. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM TIỀN HẢI KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học 2023 -2024 Môn: TOÁN 7 (Gồm 05 trang) I. Hướng dẫn chung 1. Hướng dẫn chấm chỉ trình bày các bước cơ bản của 1 cách giải. Nếu thí sinh làm theo cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa. 2. Bài làm của thí sinh đúng đến đâu cho điểm đến đó theo đúng biểu điểm. 3. Bài hình học, thí sinh vẽ hình đúng ý nào thì chấm điểm ý đó, thí sinh vẽ sai hình hoặc không vẽ hình thì cho 0 điểm bài hình đó. 4. Bài có nhiều ý liên quan tới nhau, nếu thí sinh mà công nhận ý trên (hoặc làm ý trên không đúng) để làm ý dưới mà thí sinh làm đúng thì cho 0 điểm điểm ý đó. 5. Điểm của bài thi là tổng điểm các Bài làm đúng và tuyệt đối không làm tròn. II. Đáp án và thang điểm BIỂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM Bài 1 (4,0 điểm). 2 2 1 2 1 1) Thực hiện phép tính : 3 ( 5) 0,5. . 9 : 1 3 3 3 212.35 46.92 510.73 255.492 2) Rút gọn biểu thức: A 212.36 84.35 1253.73 59.143 2 0,75 2 1 2 1 1 1 4 4 3 ( 5) 0,5. . 9 : 1 3.5 . .3 : 3 3 3 2 3 3 3 1) 1 0,75 15 1 2,0đ 2 27 0,50 2 212.35 46.92 510.73 255.492 212.35 212.34 510.73 510.74 0,50 A 212.36 84.35 1253.73 59.143 212.36 212.35 59.73 59.23.73 212.34 3 1 510.73 1 7 0,50 A 2) 212.35 3 1 59.73 1 8 2,0đ 2 30 0,50 A 12 9 1 10 7 7 0,50 A . Vậy A = 6 3 2 2
3. Bài 2 (4,5 điểm). 1) Cho các số a, b, c, d khác 0 và a b c d 0 , 5c d 0, 2d b 0 a b c d 3a b 2b 3c thỏa mãn . Tính giá trị biểu thức : M . b c d a 5c d 2d b 2) Cho đa thức f(x) = ax2 bx c với a, b, c là các số nguyên. Biết rằng f(2), f(0), f(-2) đồng thời chia hết cho 3. Chứng minh a, b, c đều chia hết cho 3. 3) Tìm các cặp số (x; y) thỏa mãn: x 1 2024 2x y 1 2023 0 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 0,50 a b c d a b c d 1(vì a b c d 0) b c d a b c d a 1) a b c d 0,25 Suy ra: 1; 1; 1; 1 nên a=b=c=d 1,5đ b c d a 3a b 2b 3c 3a a 2a 3a 4a 5a 0,50 M 5c d 2d b 5a a 2a a 4a a M 1 5 6. Vậy M = 6. 0,25 f(x) = ax2 bx c f (2) 4a 2b c chia hết cho 3 (1) 0,25 f (0) c chia hết cho 3 (2) 0,25 2) f ( 2) 4a 2b c chia hết cho 3 (3) 0,25 1,5đ Từ (1),(2) và (3) suy ra 4a+2b và 4a-2b chia hết cho 3 nên 8a 0,25 3 mà (8;3)=1 suy ra a3 4a3 2b3 mà (2;3) = 1nên b3. 0,25 Vậy a, b , c đều chia hết cho 3. 0,25 Tìm x, y thỏa mãn: x 1 2024 2x y 1 2023 0 Ta có x 1 2024 0 với mọi x và 2x y 1 2023 0 với mọi x,y. 0,50 3) Để x 1 2024 2x y 1 2023 0 thì 0,50 1,5đ x 1 2024 2x y 1 2023 0 x 1 2024 0 và 2x y 1 2023 0 Suy ra x-1=0 và 2x-y+1=0 0,25 Suy ra x = 1 và y = 3. Vậy x = 1 và y = 3. 0,25 Bài 3 (3,5 điểm). 1) Tổng số học sinh ba lớp 7A, 7B, 7C của một trường THCS là 94 học sinh. Nếu chuyển 1 học sinh từ lớp 7A và 3 học sinh từ lớp 7B sang lớp 7C thì số học sinh của ba lớp 7A, 7B, 7C lần lượt tỉ lệ nghịch với 4; 5; 3. Tính số học sinh lúc đầu của mỗi lớp.
4. 2x 3 2) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thứcP (với x 1) đạt giá trị lớn nhất. x 1 Gọi số học sinh lúc đầu của mỗi lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là a, 0,25 b, c (a,b,c N*), học sinh. Vì tổng số học sinh ba lớp là 94 học sinh nên : a + b + c = 94 0,25 Nếu chuyển 1 học sinh từ lớp 7A và 3 học sinh từ lớp 7B sang lớp 0,25 7C thì số học sinh của ba lớp 7A, 7B, 7C tỉ lệ nghịch với 4; 5; 3. Nên 4 (a – 1) = 5 (b – 3) = 3 (c + 4) a 1 b 3 c 4 0,50 Suy ra và a b c 94 15 12 20 1) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau a 1 b 3 c 4 a b c 94 2,0đ 2 0,25 15 12 20 15 12 20 47 a 1 2 suy ra a = 31 (t/m) 15 b 3 2 suy ra b = 27 (t/m) 12 0,50 c 4 2 suy ra c = 36 (t/m) 20 Vậy số học sinh lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là 31; 27; 36. 2x 3 2x 2 1 1 P 2 0,50 x 1 x 1 x 1 x 1 2) 1,5đ Với x 1 để P đạt giá trị lớn nhất thì x+1 dương và x+1 nhỏ 0,50 nhất . Mà x nguyên suy ra x+1 = 1 x = 0 (t/m) 0,25 Vậy x = 0 thì giá trị lớn nhất của P = 3. 0,25 Bài 4 (6,0 điểm). 1) Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), kẻ tia phân giác AI (I BC) của góc BAC. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = AB. a) Chứng minh IB = ID b) Tia DI cắt tia AB tại E, tia AI cắt tia EC tại H. Chứng minh H là trung điểm của EC. 2) Cho tam giác ABC vuông tại C, kẻ CH vuông góc với AB (H AB). Chứng minh AC + BC < AB + CH.
5. A 1) D B I C E H a) Xét AIBvà AID có : AB = AD, B· AI D· AI , AI cạnh chung 1,0 2,0đ Suy ra AIB AID(c.g.c) 0,50 Suy ra IB = ID 0,50 Vì AIB AID suy ra I·BA I·DA 0,25 Xét ABCvà ADE có : AB = AD, C· BA E· DA , B· AC chung 0,50 b) 2,0đ ABC ADE(g.c.g) AE AC 0,50 HS chứng minh được AEH ACH(c.g.c) EH CH 0,50 Vậy H là trung điểm của EC. 0,25 C E A D H B Vì CH  AB tại H nên BH < BC 0,25 Trên tia BA lấy điểm D sao cho BD = BC suy ra D nằm giữa A và 0,25 H. HS chứng minh được BCD cân tại B D· CB C· DB 0,25 2) Kẻ DE  AC tại E, HS chứng minh được D· CA D· CH 0,25 2,0đ HS chứng minh được DCE DCH CE CH 0,25 Mà AED vuông tại E suy ra AE < AD 0,25 Ta có AC + BC = EC + AE + BC = CH + BD + AE < CH + BD + 0,25 AD Suy ra AC + BC < AB + CH (đpcm) 0.25
6. Bài 5 (2,0 điểm). Tìm các cặp số tự nhiên (m; n) sao cho 2m.3n 1 là số chính phương. * Với m 2, ta có 2m.3n chia hết cho 4 vì thế 2m.3n 1 chia cho 4 dư 3 nên không có số chính phương nào. Trường hợp này không 0,75 xảy ra. * Với m 1, ta có 2.3n 1 là số chính phương. n + Nếu n 1 thì 2.3 1 chia cho 3 dư 2 nên không có số chính 0,50 phương nào. Trường hợp này không xảy ra. 2,0 Suy ra n = 0. Thử lại với m = 1 và n = 0 thỏa mãn. * Với m 0, ta có 3n 1 là số chính phương. n + Nếu n 1 thì 3 1 chia cho 3 dư 2 nên không có số chính 0,50 phương nào. Trường hợp này không xảy ra. Suy ra n = 0, Thử lại với m = 0 và n = 0 thỏa mãn. Vậy có 2 cặp số tự nhiên (m;n) là (1;0) và (0;0) thỏa mãn yêu 0,25 cầu bài toán.