Đề giao lưu học sinh giỏi năm 2024-2025 môn Toán 7 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề giao lưu học sinh giỏi năm 2024-2025 môn Toán 7 (Có đáp án)

1. UBND THÀNH PHỐ CHÍ LINH ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2024 - 2025 Môn: TOÁN - LỚP 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Đề này gồm 05 câu, 01 trang) Câu 1. (1,0 điểm) 12 12 12 5 5 5 12 5 10 1) B 81. 7 289 85 : 13 169 91 . 4 4 4 6 6 6 4 4 6 3 7 289 85 13 169 91 1 31 1 17 1 1 1 1 1 2) A 9 4 ... 31 5 2 2 5 2 6 12 930 Câu 2. (2,0 điểm) 2025 1) Với x 0 và x, y thỏa mãn 8 x2 81 3 y 1 0 2) Cho n là số tự nhiên có 2 chữ số. Tìm n biết n + 4 và 2n là số chính phương. Câu 3. (3,0 điểm) a a a a 1) Cho dãy tỉ số bằng nhau: 1 2 ... 2024 2025 (giả sử các tỉ số đã cho đều có nghĩa) a2 a3 a2025 a1 2 a1 a2 ... a2025 Tính giá trị biểu thức B 2 2 2 2 . a1 a2 a3 ... a2025 2) Cho đa thức bậc hai: A x ax2 bx c ( x là ẩn; a,b,c là hệ số) a) Tìm a,b,c biết rằng: A 0 2024; A 1 2025; A 1 2027 b) Cho đa thức B x 2x3 1 Tìm đa thức C x , biết rằng: A x .B x C x 4x5 2x4 2x2 . 3) Viết ngẫu nhiên một số tự nhiên có 2 chữ số lớn hơn 40. Tính xác suất của các biến cố sau: a) A: “Số tự nhiên được viết ra là số chia hết cho 7” b) B: “Số tự nhiên được viết ra có tổng các chữ số hàng chục và hàng đơn vị bằng 9”. Câu 4. (3,0 điểm) 1 Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D nằm giữa hai điểm B và C sao cho CD CB . 2 Trên tia đối của tia BC lấy điểm E sao cho BE CD. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt các đường thẳng AC và AB lần lượt ở K và F. a) Chứng minh rằng:CK BF. b) Đường thẳng BC cắt FK tại điểm I . Chứng minh I là trung điểm của đoạn thẳng FK và EK //FD . c) Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với FK cắt đường cao AH của ABC H BC tại O. Chứng minh: AH > AB – OH. Câu 5. (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M 7x 5y 2010 2z 3x 2020 xy yz zx 2000 2030 2025 --- HẾT --- (Lưu ý: học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay)
2. UBND THÀNH PHỐ CHÍ LINH HƯỚNG DẪN CHẤM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI Năm học 2024 - 2025 Môn: TOÁN - LỚP 7 (Hướng dẫn này gồm 05 câu, 03 trang) Nội dung Điể Câu Ý m 12 12 12 5 5 5 12 5 10 B 81. 7 289 85 : 13 169 91 . 4 4 4 6 6 6 4 4 6 3 7 289 85 13 169 91 0,25 1 1 1 1 1 1 1 12. 1 5. 1 (0,5đ 7 289 85 13 169 91 10 ) B 81. : . 4 1 1 1 1 1 1 3 4. 1 6. 1 7 289 85 13 169 91 12 5 10 B 81. : . 36 0,25 4 6 81 1 1 31 1 17 1 (1,0đ Xet M 9 4 31 5 2 2 5 ) 1 31 17 17 21 . . 31 5 2 2 5 17 31 21 17 2 0,25 (0,5đ 31 10 31 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 Xet N ... ... 2 6 12 930 2 2.3 3.4 30.31 1 1 1 1 1 1 1 1 30 ... 1 2 2 3 3 4 30 31 31 31 17 30 47 A M N 0,25 31 31 31 Ta có: 8 x2 81 0 với mọi x; 3 y 1 2025 0 với mọi y 2025 Nên để 8 x2 81 3 y 1 0 0,25 1 2025 (1,0đ Thì x2 81 0 và y 1 0 ) Giải ra x 9 và y = -1 2 0,5 Đối chiếu điều kiện x 0 , loại x = -9 (2,0đ 0,25 ) Vậy x = 9 và y = -1 Vì n là số tự nhiên có hai chữ số => 9 < n < 100 0,25 2 18 2n 200 (1,0đ Mà 2n là số chính phương chẵn 2n 36;64;100;144;196 0,25 ) n 18;32;50;72;98 0,25 Mà n + 4 là số chính phương => n = 32. Vậy n = 32 0,25 3 1 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :
3. (1,0đ a1 a2 a2024 a2025 a1 a2 ... a2024 a2025 ) ... 1 ... a2 a3 a2025 a1 a2 a3 a2025 a1 0,25 Suy ra : a1 a2 ... a2014 a2025 0,25 2 a a ... a 20252 a 2 Do đó B 1 1 1 1 2025 2 2 2 2 0,25 a1 a1 ... a1 2025.a1 Vậy B = 2025 a) A 0 2024 suy ra c 2024 A 1 2025 suy ra a b 1 0,25 A 1 2027suy ra a b 3 a 2 2 b 1 0,25 (1,0đ c 2024 ) b) A x 2x 2 x 2024 A x .B x C x 4x5 2x 4 2x 2 0,25 C x 2x 2 x 2024 . 2x3 1 4x5 2x 4 2x 2 C x 4048x3 x 2024 0,25 a) Số kết quả có thể xảy ra là: 59 Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là:42; 49; 56; 63; 70; 77; 84; 0,25 91; 98. 3 9 Có 9 kết quả. Xác suất của biến cố A là: 0,25 (1,0đ 59 ) b) Số kết quả thuận lợi cho biến cố B là: 45; 54; 63; 72; 81; 90 0,25 6 Có 6 kết quả. Xác suất của biến cố B là: 0,25 59 0,25 4 Ta có: = ( ABC cân tại A) (1) = 퐹 (Hai góc đối đỉnh) (2) 0,25 a Từ (1), (2) suy ra = 퐹 hay 퐾 = 퐹 (1,0đ Xét CDK và BEF có: ) K· DC F· EB 90d ; DC EB (GT); 0,25 퐾 = 퐹 (C/m trên)
4. CDK BEF (g.c.g) CK BF (hai cạnh tương ứng) 0,25 Xét DIK và EIF có I·DK I·EF 90d DK EF ( CDK BEF ); 0,25 E· FI K· CI (cùng phụ D· IK E· IF ) b Suy ra DIK EIF (1,0đ IK IF và IE = ID (hai cạnh tương ứng) 0,25 ) Xét EIK và DIF có: IE = ID (chứng minh trên) IF = IK (chứng minh trên) 0,25 E· IK D· IF (đối đỉnh) Suy ra EIK = DIF (c.g.c) · · Suy ra EKI IFD 0,25 Suy ra EK // FD Ta có AHB AHC (cạnh huyền – cạnh góc vuông) nên = 0,5 Ta có OAB OAC (c.g.c) suy ra = (3) c OIF OIK (hai cạnh góc vuông bằng nhau) OF OK , (1,0đ từ đó suy ra OBF OCK (c.c.c) suy ra 퐹 = 퐾 (4) ) Từ (3) và (4) suyra = 퐹 = 900 OB  AB Xét ABO vuông tại B có OA là cạnh huyền 0,5 Nên OA > AB, mà OA = OH + AH Suy ra AH > AB – OH Ta có 7x – 5y 2010 0; 2z – 3x 2020 0 và xy yz zx 2000 2030 0 0,25 Nên M 7x 5y 2010 2z 3x 2020 xy yz zx 2000 2030 2025 2025 Dấu bằng xảy ra khi: 7x 5y 2010 2z 3x 2020 xy yz zx 2000 2030 0 x y 7x – 5y 0 suy ra 7x 5y suy ra 5 7 5 0,25 z x suy ra 2z – 3x 0 suy ra 2z 3x suy ra 3 2 xy yz zx 2000 0 suy ra xy yz zx 2000 Từ đó tìm được x 20, y 28, z 30 hoặc 0,25 x 20, y 28, z 30 Vậy GTNN của M là 2025 x, y, z 20;28;30 0,25 hoặc x, y, z 20; 28; 30