Đề cương ôn tập Hình học Lớp 7 - Bài 6: Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Nội dung text: Đề cương ôn tập Hình học Lớp 7 - Bài 6: Tính chất ba đường phân giác của tam giác

1. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC A. TểM TẮT Lí THUYẾT 1. Định lớ: Ba đường phõn giỏc của một tam giỏc cựng đi qua một điểm. Điểm này cỏch đều ba cạnh của tam giỏc đú. Cụ thể: à ả à ả à ả A1 A2 , B1 B2 ,C1 C2 => ID = IE = IF . 2. Tớnh chất: Trong một tam giỏc cõn, đường phõn giỏc của gúc ở đỉnh đồng thời là đường trung tuyến, đường cao của tam giỏc đú. Ngược lại, nếu một tam giỏc cú đường phõn giỏc vẽ từ một đỉnh đồng thời là đường trung tuyến (hoặc đường cao) thỡ tam giỏc ấy là tam giỏc cõn tại đỉnh đú. ABC : AB = AC à ả => BD = DC A1 A2 B.BÀI TẬP MINH HỌA I. CÁC DẠNG BÀI CƠ BẢN Dạng 1. Tớnh độ dài đoạn thẳng, số đo gúc Phương phỏp giải: Sử dụng cỏc tớnh chất: • Giao điểm của hai đường phõn giỏc của hai gúc trong một tam giỏc nằm trờn đường phõn giỏc của gúc thứ ba. • Giao điểm cỏc đường phõn giỏc của tam giỏc cỏch đều ba cạnh của tam giỏc. Bài 1. Tỡm x trong mỗi hỡnh vẽ sau biết CI và BI là hai phõn giỏc của ãACB và ãABC , cũn EH và FH là hai phõn giỏc của Dã EF và Dã FE .
2. Bài 2.1 .Cho hỡnh vẽ bờn, biết KN = 12 cm, IN = 13 cm và I là giao điểm, cỏc phõn giỏc của tam giỏc MNL. a) So sỏnh IP và IH. b) Tớnh IH Bài 2.2 .Tỡm x trong mỗi hỡnh vẽ sau biết I, H là giao điểm của ba đường phõn giỏc của cỏc gúc trong của tam giỏc. Dạng 2. Chứng minh 3 đường đồng quy, 3 điểm thẳng hàng Phương phỏp giải: Vận dụng tớnh chất ba đường phõn giỏc của tam giỏc. Bài 3. Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Kẻ cỏc tia phõn giỏc BD, CE. Lấy M là trung điểm của BC. a) Chứng minh AM là tia phõn giỏc của gúc BAC. b) Ba đường thẳng AM, BD, CE đồng quy tại H. HM c) Giả sử cú MN = MP = NP, tớnh tỉ số MK
3. Bài 4.Cho tam giỏc ABC, tia phõn giỏc AD. Cỏc tia phõn giỏc ngoài tại đỉnh B và C cắt nhau ở E. Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng. Dạng 3. Đường phõn giỏc đối với cỏc tam giỏc đặc biệt (tam giỏc cõn, tam giỏc đều) Phương phỏp giải: Sử dụng tớnh chất trong tam giỏc cõn, đường phõn giỏc của gúc ở đỉnh cũng đồng thời là đường trung tuyến, đường cao. Bài 5.Cho tam giỏc MNP cõn tại M cú G là trọng tõm.I là điểm nằm trong tam giỏc và cỏch đều ba cạnh của tam giỏc đú. Chứng minh ba điểm M, G, I thẳng hàng. Bài 6.Cho tam giỏc ABC cú đường cao AH đồng thời là đường phõn giỏc của gúc A Chỳng minh tam giỏc ABC cõn tại A. Dạng 4. Chứng minh mối quan hệ giữa cỏc gúc Phương phỏp giải: • Vận dụng cỏc tớnh chất tia phõn giỏc của một gúc để tỡm mối liờn hệ giữa cỏc gúc. • Dựng định lớ tổng ba gúc trong một tam giỏc bằng 180°. Bài 7.Cho ABC, Cỏc tia phõn giỏc ở gúc B và C cắt nhau ở I a) Biết àA = 70°, tớnh số đo gúc BIC. b) Biết Bã IC = 140°, tớnh số đo gúc A. àA c) Chứng minh Bã IC = 90° + 2 Bài 8.Cho tam giỏc ABC cú Bà Cà . Từ đỉnh A kẻ đường cao AH và tia phõn giỏc AD. a) Biết Bà 70,Cà 50, tớnh số đo Hã AD . Bà Cà B) Chứng minh Hã AD 2 Dạng 5.Tổng hợp Bài 9.Tỡm x, y biết M là giao điểm cỏc phõn giỏc của tam giỏc ABC.
4. Bài 10.Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Cỏc tia phõn giỏc của cỏc gúc B và C cắt nhau tại I. Gọi H, J, K lần lượt là chõn đường vuụng gúc kẻ từ I đến AB, AC, BC. Biết KI = lcm, BK = 2cm, KC = 3cm. a) Chứng minh BHI = BKI b) Chứng minh tam giỏc AHI là tam giỏc vuụng cõn. c) Tớnh chu vi tam giỏc ABC Bài 11.Cho tam giỏc ABC, trờn tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho MB = AB, trờn tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho NC = AC. Qua M kẻ đường thẳng song song với AB. Qua N kẻ đường thẳng song song với AC. Hai đường thẳng đú cắt nhau tại P. Chứng minh: a) MA, NA lần lượt là tia phõn giỏc của Pã MB, Pã NC b) Tia PA cắt BC tại K. Chứng minh PA là tia phõn giỏc của Mã PN , từ đú suy ra AK là tia phõn giỏc của Bã AC . Bài 12.Cho tam giỏc ABC. Cỏc đường phõn, giỏc cỏc gúc ngoài tại đỉnh A và C cắt nhau ở K. a) Chứng minh BK là phõn giỏc của gúc ABC. b) Cho cỏc tia phõn giỏc cỏc gúc A và C trong tam giỏc ABC cắt nhau ở I Chứng minh B, I, K thẳng hàng. c) Cho biết ãABC = 70°. Tớnh ãAKC . Bài 13.Cho tam giỏc ABC, tia phõn giỏc AD. Cỏc tia phõn giỏc ngoài Bx và Cy cắt nhau ở E. 1 Chứng minh ba đường thẳng AD, Bx, Cy đồng quy và Bã EC Fã EH 2 Bài 14.Tam giỏc ABC cõn tại. A. Tia phõn giỏc của gúc A cắt đường trung tuyến BD tại K. Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh ba điểm I, K, C thẳng hàng. Bài 15.Cho tam giỏc ABC cõn tại A. CP, BQ là cỏc tia phõn giỏc trong của tam giỏc ABC (P AB, Q AC). Gọi O là giao điểm của CP và BQ. a) Chứng minh tam giỏc OBC là tam giỏc cõn. b) Chứng minh điểm O cỏch đều ba cạnh của tam giỏc ABC. c) Chứng minh đường thẳng AO đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC và vuụng gúc với nú. d) Chứng minh CP = BQ.
5. e) Tam giỏc APQ là tam giỏc gỡ? Vỡ sao Bài 16.Cho xã Oy = 50°. Lấy cỏc điểm A Ox, B Oy. Cỏc tia phõn giỏc của xã AB và ãyBA cắt nhau ở E. a) Tớnh số đo gúc AEB. b) Cỏc đường AE, BE cắt phõn giỏc ngoài gúc xã Oy ở K, F. Biết Oã BA = 40°.Tớnh cỏc gúc của tam giỏc KEF. Bài 17.Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Kẻ AH vuụng gúc với BC (H BC). Tia phõn giỏc của Hã AB cắt BC ở D. a) Chứng minh tam giỏc ACD là tam giỏc cõn. b) Cỏc tia phõn giỏc của Hã AC và ãAHC cắt nhau ở I. Chứng minh. CI đi qua trung điểm, của AD. Từ đú tớnh gúc ãAIC . Bài 18.Tam giỏc ABC cú I là giao điểm cỏc tia phõn giỏc của cỏc gúc B và C. Gọi D là giao điểm của AI và BC. Kẻ IH vuụng gúc với BC (H BC). Chứng minh: a) AD là tia phõn giỏc của àA ; Bà b) Cã ID 90 2 c) Bã IH Cã ID Bài 19.Cho tam giỏc ABC cú I là giao điểm của ba đường phõn giỏc. Gọi H là chõn đường vuụng gúc kẻ từ B đến AI. Chứng minh: a) Cỏc gúc IãCB và Bã IH là hai gúc phụ nhau; b) IãBH ãACI Bài 20.Cho tam giỏc ABC đều. Qua B kẻ đường thẳng xy song song AC và hạ BM vuụng gúc với AC (M AC). Qua C kẻ đường thẳng x'y' song song AB và hạ CN vuụng gúc vúi AB (N AB). Hai đường thẳng xy và x'y' cắt nhau tại P. Chứng minh: a) Đường phõn giỏc của àA và hai đường BM, CN đồng quy; b) Đường phõn giỏc của àA và hai đường thẳng xy và x'y' đồng quy. LỜI GIẢI CÁC DẠNG BÀI CƠ BẢN Bài 1. a) Ta cú Bà +Cà 2IãBC + 2IãCB 2(IãBC IãCB) 120
6. = àA 180 (Bà + Cà ) 180 120 60 Mà BI, CI lần lượt là tia phõn giỏc của Bà và Cà nờn I là giao điểm của ba đường phõn giỏc trong ABC. àA => AI là tia phõn giỏc của àA x = 30°. 2 b) Ta cú DEF cõn tại D => Fà Eà 2Hã EF 64 . Dã EF => FH là tia phõn giỏc của Dã FE x 32 2 Bài 2.1 a) I là giao điểm ba đường phõn giỏc của MLN. Do đú I cỏch đều ba cạnh của MLN => IP = IH. b) Xột IKN vuụng tại K : IK IN 2 IK 2 5cm => IH = IK = 5 cm.. Bài 2.2 a) Do KA vừa là đường cao vừa là trung tuyến nờn OKB cõn tại K. Suy ra KA là phõn giỏc Oã KB . Vỡ H nằm trờn tia phõn giỏc của xã Oy nờn H cỏch đều Ox, Oy => AH = HI b) Tớnh AH = 52 42 3cm Từ giả thiếp ta suy ra H là giao điểm của ba đường phõn giỏc trong OBK nờn H cỏch đều ba cạnh của tam giỏc đú. Vậy khoảng cỏch từ điểm H đến BK bằng AH = 3cm Bài 3. a) Chứng minh được AMB = AMC (c.c.c). Từ đú suy ra AM là tia phõn giỏc của gúc BAC. b) Xột ABC cú AM, BD,CE là cỏc tia phõn giỏc. Từ tớnh chất ba đường phõn giỏc trong tam giỏc, suy ra ba đường thẳng AM,BD,CE đồng quy.
7. Bài 4. Gọi F,H,G lần lượt là hỡnh chiếu vuụng gúc của điểm E xuống cỏc đường thẳng AB, AC và BC. Từ giả thiết suy ra EF = EG và EH = EG. => EF = EH nờn E thuộc tia phõn giỏc của gúc BAC. Mà AD là tia phõn giỏc của gúc BAC. Vậy ba điểm A, D, E thẳng hàng. Bài 5. I nằm trong tam giỏc và cỏch đều ba cạnh của tam giỏc nờn MI là tia phõn giỏc của gúc M. Do MNP cõn tại M nờn đường giỏc MI cũng là đường trưng tuyến. G là trọng tõm của MNP nờn G nằm trờn MI. Từ đú, suy ra M,G, I thẳng hàng. Bài 6. Hạ MD  AB, ME  AC. Vỡ AM là tia phõn giỏc của àA nờn MD = ME. Do đú BDM = CEM (ch-cgv). Suy ra Bà Cà . Vậy ABC cõn tại A. Bài 7. a) Xột ABC, ta tớnh được Bà Cà = 110°. Do đú, IãBC IãCB = 55°. Vậy Bã IC = 180° - 55° = 125°. b) Xột BIC, từ giả thiết suy ra
8. IãBC IãCB = 40°. Do đú, ta cú: ãABC ãACB = 80°. Vậy Bã AC = 100°. c) Ta cú: = Bã IC 180 - (IãBC IãCB) Bà Cà 180 àA =180 - 180 - 2 2 àA àA 180 - 90 - 90 + 2 2 Bài 8. a) Từ giả thiết, ta tớnh được: Bã AC 60 Bã AC Dã AC 30 Dã AB 2 => ãADH Dã AC Cà 80 Do đú, xột AHD ta tớnh được Hã AD 10 Cú thể tớnh Bã AH = 90° - 70° = 20°. Vậy Hã DA = 30°- 20° = 10° b) Hã AD = 90° - Hã DA àA 180 àA 2Cà Bà Cà 90 - Cà = 2 2 2 Bài 9. Tương tự 1. a) x = 19°. b) x = 33°; y = 24°. Bài 10. a) BHI = BKI (ch-gn) Do đú, BH = BK = 2cm. àA b) AI là tia phõn giỏc của gúc A nờn Hã AI 45 2 Do đú, AHI là tam giỏc vuụng cõn. c) Ta cú IH = IK = IJ = 1cm. Từ đú, suy ra AH = HI = lcm.
9. Tương tự ý b), ta cú AJ = KI = 1 cm. IKC = IJC (ch-gn) => IC = KC = 3cm. IBH = IBK (ch-gn) => BH = BK = 2cm. Do đú, ta cú: AB = 3cm; AC = 4cm; BC = 5cm. Vậy chu vi tam giỏc ABC là 12cm. Bài 11. à ả a) ABM cõn nờn A1 M1 ả à Cú AB // MP => M 2 A1 (so le trong). ả ả Vậy M1 M 2 , nờn MA là tia phõn giỏc của Pã MB . Tương tự, ACN cú NA là tia phõn giỏc của Pã NC . b) Xột PMN cú A là giao điểm của hai tia phõn giỏc gúc M và N nờn PA là tia phõn giỏc của gúc MPN. ã à Cú: AB //MP => BAK P1 ( đồng vị) ã à AC // PN => KAC P2 (đồng vị). à à Mà P1 P2 (do PA là tia phõn giỏc của gúc MPN) nờn . Do đú, AK là tia phõn giỏc của BAC Bài 12. a) Tương tự 4. b) Vỡ I là giao điểm cỏc tia phõn giỏc cỏc gúc àA và Cà trong ABC nờn BI cũng là phõn giỏc của ãABC . Suy ra B, I, K thẳng hàng. c) Sử dụng 7A, ta cú: ãACB ãAIC 90 125 2
10. Chỳ ý IãAK IãCK = 90° nờn suy ra Kã AC = 180° - 125° = 55°. Bài 13. Từ Bài 4, ta chứng minh được E thuộc tia phõn giỏc của gúc Bã AC . Do đú, tia AD sẽ đi qua điểm E. Chỳ ý: 1 1 Bã EG Fã EG;Cã EG Hã EG 2 2 Suy ra ĐPCM. Bài 14. Vỡ ABC cõn tại A nờn tia phõn giỏc AK đồng thời là đưũng trung tuyến. Mà BD là trung tuyến của ABC nờn K là trọng tõm của ABC. Do đú I, K, C thẳng hàng. Bài 15. a) Vỡ ABC cõn nờn ãABC ãACB , ả ả do đú B2 C2 . Vậy OBC cõn tại O. b) Vỡ O là giao điểm cỏc tia phõn giỏc CP và BQ trong ABC nờn O là giao điểm ba đường phõn, giỏc trong ABC. Do đú, O cỏch đều ba cạnh của ABC. c) Ta cú ABC cõn tại A, AO là tia phõn giỏc ở đỉnh A nờn AO đồng thời là trung tuyến và đường cao của ABC. Vậy đường thẳng AO đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC và vuụng gúc với nú. d) PBC = QCS (g.c.g) => CP = BQ. e) Từ ý d), ta suy ra AP = AQ. Vậy tam giỏc APQ cõn tại A .