Kỳ thi chọn học sinh giỏi Quốc gia THPT môn Toán - Năm học 2016-2017

Bài 2 (5 điểm). a) Cho dãy số (a,) xác định bởi a, =ln(2n +I) −ln(n +n+I), với n=1,... Chứng minh chỉ có hữu hạn số n sao cho {4,}

b) Cho dãy số (,) xác định bởi b = ln(2n+1)+ln(n +n+1), với n=1,2,... Chứng

minh tồn tại vô hạn số n sao cho {b}

2016

Trong đó {x} là ký hiệu phần lẻ của số thực x:{x}=x-[x].

Bài 3 (5 điểm). Cho tam giác ABC có B, C cố định, 4 thay đổi sao cho tam giác ABC nhọn. Gọi D là trung điểm của BC và E, F tương ứng là hình chiếu vuông góc của D lên AB, AC.

a) Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. EF cắt AO và BC lần lượt tại M và N. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN đi qua một điểm cố định. b) Các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF tại E, F cắt nhau tại T. Chứng minh T thuộc một đường thẳng cố định.