Đề thi đề nghị môn Toán Lớp 11 Kỳ thi Olympic 23-3 Tỉnh ĐăkNông lần thứ 5 - Năm học 2017-2018 - Trường THPT Nguyễn Tất Thành

Nội dung text: Đề thi đề nghị môn Toán Lớp 11 Kỳ thi Olympic 23-3 Tỉnh ĐăkNông lần thứ 5 - Năm học 2017-2018 - Trường THPT Nguyễn Tất Thành

1. Mã số câu: Câu hỏi 4: ( 3,0 điểm) Cho hàm số f : R R thỏa mãn 3 tính chất sau: 1. f(1) = 1 2. f( x + y ) – f(x) – f(y) = 2xy 1 f (x) 3. f( ) = x 0 x x4 Tính f 2018 Đáp án câu hỏi 4: Câu ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM Từ tính chất 2 cho x = 0 f(y) – f(0) – f(y) = 0 f(0) = 0 (1) 0,5 t t t2 Đặt x = y = ta được : f(t) – 2f( ) = t (2) 0,5 2 2 2 1 2 1 2 Tương tự đặt x = y = ( t 0 ) ta được : f 2 f 0,5 t t t t2 t t f f 1 2 2 2 Theo tính chất 3 ta suy ra f f t 4 t 4 t t 2 2 2 t t f f 2 1 2 2 2 f (t) 2 1 f (t) 0,5 f Thay f 4 2 2 4 4 2 ( 4 ) 4 t t t t t t t t 2 2 t 16 f 2 2 2 f (t) 2t t 2 8 f f t t t 0 (3) t4 t4 t4 2 2 t t t 2 f (t) 2 f ( ) 8 f ( ) 4 f (t) 2t 2 2 2 Từ (2) và (3) ta có hệ t t 2 0,5 8 f ( ) f (t) t2 8 f ( ) f (t) t 2 2 3 f (t) 3t2 f (t) t2 t Thử lại hàm số nầy thỏa mãn cả ba tính chất . 0,5 Vậy f 2018 2018
2. Mã số câu: Câu hỏi 6: ( 3,0 điểm) k 1 k k 1 Tìm các số nguyên dương n, k biết n 20 và các số Cn ; Cn ; Cn theo thứ tự đó là số hạng thứ nhất, thứ ba, thứ năm của một cấp số cộng. Đáp án câu hỏi 6: Câu ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM k 1 k k 1 Cn ; Cn ; Cn theo thứ tự là các số hạng thứ nhất, thứ 3, thứ 5 của một cấp số cộng 0,5 k 1 k 1 k k 1 k k k 1 Cn Cn 2Cn Cn Cn Cn Cn (1) Vì n k 1 n 2. 1 1 2 (1) (k 1)!(n k 1)! (k 1)!(n k 1)! k!(n k)! 0,5 1 1 2 (n k)(n k 1) k(k 1) k(n k) k(k 1) (n k)(n k 1) 2(k 1)(n k 1) 0,5 6 (2k n)2 n 2 suy ra n 2 là số chính phương, mà 0,5 n 20 n {2,7,14} n 2 (k 1)2 1 k 2(L) k 5 n 7 (2k 7)2 9 k 2 1,0 2 k 9 n 14 (2k 14) 16 k 5 ĐS: có 4 cặp số (n; k) thỏa mãn: (7;5); (7;2); (14;9); (14;5)