Đề thi đề nghị môn Toán Lớp 11 Kỳ thi Olympic 23-3 Tỉnh ĐăkNông lần thứ 5 - Năm học 2017-2018 - Trường THPT Nguyễn Du

Nội dung text: Đề thi đề nghị môn Toán Lớp 11 Kỳ thi Olympic 23-3 Tỉnh ĐăkNông lần thứ 5 - Năm học 2017-2018 - Trường THPT Nguyễn Du

1. Câu hỏi 3: ( 3 điểm) Mã số câu: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O ). AD, BE, CF là ba đường cao D BC, E CA, F AB . Đường thẳng EF cắt BC tại G, đường thẳng AG cắt lại đường tròn (O) tại điểm M . a) Chứng minh rằng bốn điểm A, M , E, F cùng nằm trên một đường tròn. b) Gọi N là trung điểm cạnh BC và H là trực tâm tam giác ABC . Chứng minh rằng GH  AN Đáp án câu hỏi 3: CÂU ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM 2a) Chứng minh rằng bốn điểm A, M , E, F cùng nằm trên một đường tròn 1.5 Tứ giác AMBC nội tiếp, ta được GM GA GB GC 0.5 Tứ giác BFEC nội tiếp, ta được GB GC GF GE 0.5 Suy ra GF GE GM GA 0.25 Do đó, tứ giác AMFE nội tiếp. 0.25 2b) Gọi N là trung điểm cạnh BC và H là trực tâm tam giác ABC . Chứng 1.5 minh rằng GH  AN Theo kết quả câu 2a) và tứ giác AEHF nội tiếp suy ra M nằm trên 0.5 đường tròn đường kính AH , do đó HM  MA. Tia MH cắt lại đường tròn (O) tại K , khi đó do AMK 90 nên AK 0.25 là đường kính của (O) . Từ đó suy ra KC  CA, KB  BA . Suy ra KC || BH, KB || CH , do đó 0.25 BHCK là hình bình hành. Suy ra KH đi qua N Khi đó M , H, N thẳng hàng. 0.25 Trong tam giác GAN có hai đường cao AD, NM cắt nhau tại H, nên H 0.25 là trực tâm của tam giác GAN . Suy ra GH  AN A M E F O H G B D N C K 4
2. Mã số câu: Câu hỏi 5: ( 3 điểm) n5 n4 7n3 5n2 n a) Chứng minh rằng P luôn luôn là một số tự nhiên với mọi 120 12 24 12 5 số tự nhiên n. b) Có hay không số tự nhiên khác 0 vừa là tích của hai số tự nhiên liên tiếp vừa là tích của bốn số tự nhiên liên tiếp. Đáp án câu hỏi 5: CÂU ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM 4a) n5 n4 7n3 5n2 n 1.5 Chứng minh rằng P luôn luôn là một số tự 120 12 24 12 5 nhiên với mọi số tự nhiên n. n5 10n4 35n3 50n2 24n 0.25 Ta có: P 120 Mà n5 10n4 35n3 50n2 24n n n 1 n 2 n 3 n 4 0.5 Vì 120 3.5.8 và 3,5,8 nguyên tố cùng nhau 0.25 n n 1 n 2 n 3 n 4 3 0.25 Lại có: n n 1 n 2 n 3 n 4 5 n n 1 n 2 n 3 n 4 8 Suy ra: n n 1 n 2 n 3 n 4 120 0.25 Vậy P là số tự nhiên 4b) Có hay không số tự nhiên khác 0 vừa là tích của hai số tự nhiên liên tiếp vừa là tích của bốn số tự nhiên liên tiếp. 1.5 Giả sử tồn tại số tự nhiên A khác 0, thỏa mãn đề bài. 0.25 A = n(n + 1) = m(m + 1)(m + 2)(m + 3) trong đó m, n là số tự nhiên khác 0. Suy ra n2 n m2 3m m2 3m 2 0.25 2 2 Hay n2 n 1 m2 3m 2 m2 3m .1 1 m2 3m 1 0.25 Mặt khác dễ thấy n2 n2 n 1 n 1 2 . 0.25 2 Vì thế n2 m2 3m 1 n 1 2 0.25 Điều mâu thuẫn trên chứng tỏ không tồn tại số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu 0.25 đề bài. 6