Đề thi đề nghị môn Toán Lớp 11 Kỳ thi Olympic 23-3 Tỉnh ĐăkNông lần thứ 5 - Năm học 2017-2018 - Trường THPT Chuyên Nguyễn Chí Thanh

Nội dung text: Đề thi đề nghị môn Toán Lớp 11 Kỳ thi Olympic 23-3 Tỉnh ĐăkNông lần thứ 5 - Năm học 2017-2018 - Trường THPT Chuyên Nguyễn Chí Thanh

1. Câu hỏi 4: ( 3,0 điểm) Mã số câu: f :R R (R {x R| x 0}) Cho hàm sao cho: f (x2 ) f y f (x2 y xf (4y)) x, y 0 a) Chứng minh f là hàm tăng không nghiêm ngặt trên R+ b) Tìm tất cả các hàm f thỏa mãn điều kiện trên. Câu 4 ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN CHẤM Điểm a) Thay x=y=0 ta có f(0)=0. Xét hàm g(x) = x2 + f(4y)x là hàm đồng biến trên R vì f(4y)>=0. + 0,25 Mà: g(0) 0; g( ) TGT g(x) [0;+ ) 0,25 x 0 nên với mỗi số dương a bất kỳ luôn tồn tại x0 để a= g(x0) > 0 . 0,25 Do đó f(y+a) = f(g(x )+y) >= f(y) với mọi số a dương. Chứng tỏ f là hàm tăng 0 0,25 không nghiêm ngặt. b) Xét hai trường hợp sau: TH1: Tồn tại t > 0 để f(t) = 0. Thay x t f (y) f (y t t f (4y)) f (t y) Mà f (t) f (t y) f (y) f (y t) y 0 0,25 f (0) f (t) f (2t) f (nt) n Z 0,25 Kết hợp với f(x) là hàm không giảm nên f(x) = 0 với mọi x không âm. Vì nếu ngược lại tồn tại u > 0 để f(u) > 0 thì luôn tồn tại n nguyên dương để nt > u nhưng f(nt) = 0 mâu thuẫn với tính không giảm của hàm f. 0,25 TH2: Với mọi số dương t có f(t) > 0. Theo chứng minh trên suy ra f là hàm tăng ngặt Thay y bởi y2 ta có: f(x2) + f(y2) = f(x2 + y2 + xf(4y2)) 0,25 f (y2 ) f x2 f (y2 x2 yf (4 x)) Thay x bởi y, y bởi x2: 0,25 Vì f tăng ngặt nên: f (4y2 ) f (4 x) x2 y2 xf (4y2 ) y2 x2 yf (4 x) x( f (4y2 ) yf (4 x) kf x 0; y 0 y x 0,25 f (x) k x Thử lại ta được k=1. (1 điểm) 0,25 f (x) 0; f (x) x 0,25 KL: Bài toán có hai nghiệm là
2. Câu hỏi 6: ( 3,0 điểm) Mã số câu: 2019 Có bao nhiêu dãy gồm 2019 số dương a sao cho a 1,a a 1 với nn 1 1 n 1 n mọi n 1,2018? Câu 6 ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN CHẤM Điểm -) Rõ ràng a2019 1;3;5; ;2019 . -) Khi a2019 2k 1,k 0,1009 thì a2019 a1 2k nên trong 2018 hiệu an 1 an có 1009 k hiệu bằng 1, 1009 k hiệu bằng 1. 1009 k Số cách chọn 1009 k hiệu bằng 1 là C2018 . 0,5 2019 -) Nếu trong dãy a xuất hiện số 0 thì a 2k 1,k 0,1008. nn 1 2019 Xét vị trí của số 0 đầu tiên, giả sử là 1,a2 , ,an 1,0,an 1, ,a2019 . Xét dãy số 0,5 2019 b như sau 1, a , , a ,0,a , ,a . Khi đó mỗi dãy nn 1 2 n 1 n 1 2019 1,a , ,a xuất hiện số 0 mà a a 1 n 1,2018 sẽ tương ứng với 2 2019 n 1 n 0,5 một dãy 1,b2 , ,b2019 bất kỳ mà bn 1 bn 1 n 1,2018 . Do b2019 b1 2k 2 nên trong 2018 hiệu bn 1 bn có 1010 k hiệu bằng 1, 1008 k hiệu bằng 1. 1010 k 0,5 Số cách chọn 1010 k hiệu bằng 1 là C2018 . -) Do đó số dãy thỏa mãn đề bài với a2019 2k 1,k 0,1008 là 1009 k 1010 k 0,5 C2018 C2018 , với a2019 2019 là 1. 1008 1009 k 1010 k 1009 0,5 -) Vậy số dãy thỏa mãn là  C2018 C2018 1 C2018 . k 0