Đề thi đề nghị môn Toán Lớp 10 Kỳ thi Olympic 23-3 Tỉnh ĐăkNông lần thứ 5 - Năm học 2017-2018 - Trường THPT Phan Bội Châu

Nội dung text: Đề thi đề nghị môn Toán Lớp 10 Kỳ thi Olympic 23-3 Tỉnh ĐăkNông lần thứ 5 - Năm học 2017-2018 - Trường THPT Phan Bội Châu

1. Mã số câu: Câu hỏi 5: (3.0 điểm) Cho các số 1,2,3, ,n . Chúng ta thực hiện việc xóa hai số bất kì trên bảng và thay bằng số mới bằng 2 lần tổng của hai số đó. Cứ tiếp tục quá trình như vậy cho đến khi 4n3 trên bảng chỉ còn lại một số. Chứng minh rằng số cuối cùng luôn lớn hơn với mọi 9 số tự nhiên n 2 . Đáp án câu hỏi 5: CÂU ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM Với x, y là các số dương, ta có: x y 2 x y nên bằng việc 0.5 thay hai số bởi 2 lần tổng của hai số đó thì tổng tất cả các căn bậc hai của các số trên bảng không giảm. Do đó, số nhận được cuối cùng là S thì S sẽ không nhỏ hơn tổng các căn bậc hai của các số ban đầu. 2 0.5 Như thế, ta có S 1 2 3 n Ta cần chứng minh bất đẳng thức sau bằng quy nạp 0.5 2 4n3 1 2 3 n * 9 2 4.23 0.5 Với n 2 , ta có 1 2 3 2 2 5 nên (*) đúng 9 2 4k 3 0.5 Giả sử (*) đúng với n k 2 thì 1 2 3 k . Ta 9 cần chứng minh (*) đúng với n k 1 tức là: 3 2 4 k 1 1 2 3 k k 1 9 Ta có: 2 3 2 4k 3 4k 3 4k k 1 1 2 3 k k 1 k 1 k 1 2 9 9 9 3 4k 3 4k 3 k 1 4 k 1 0.5 Ta cần chứng minh: k 1 2 9 9 9 144k 3 k 1 12k 2 3k 5 12k 3 111k 2 30k 25 (Đúng) Nên (*) đúng với n k 1 2 4n3 Do đó: 1 2 3 n 9 4n3 Vậy số nhận được cuối cùng trên bảng luôn lớn hơn . 9 4