Đề thi đề nghị môn Toán Lớp 10 Kỳ thi Olympic 23-3 Tỉnh ĐăkNông lần thứ 5 - Năm học 2017-2018 - Trường THPT Chu Văn An

Nội dung text: Đề thi đề nghị môn Toán Lớp 10 Kỳ thi Olympic 23-3 Tỉnh ĐăkNông lần thứ 5 - Năm học 2017-2018 - Trường THPT Chu Văn An

1. Mã số câu: Câu 5.(3điểm) Trong mặt phẳng cho 50 điểm phân biệt, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng được tô bởi một trong ba màu: tím, vàng, xanh. Mỗi đoạn thẳng nối hai điểm bất kì trong 50 điểm trên được tô bởi ba màu: đỏ, trắng, đen. Chứng minh rằng luôn có 3 điểm trong 50 điểm trên được tô cùng màu và 3 đoạn thẳng nối chúng được tô cùng màu Đáp án Điểm Vì 50 điểm được tô 3 màu nên theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại 17 điểm 0,5 được tô cùng màu, không mất tính tổng quát ta giả sử 17 điểm đó là A1, A2 , , A17 được tô cùng màu tím. Từ A1 ta kẻ 16 đoạn thẳng đến các điểm A2 , A3 , , A17 . Các đoạn này 0,5 được tô bởi 1 trong 3 màu nên tồn tại 6 đoạn được tô cùng một màu, giả sử đó là A1 A2 , A1 A3 , , A1 A7 được tô cùng màu đỏ. Nếu một trong các đọa thẳng nối 2 điểm bất kỳ trong 6 điểm 0,5 A2 , A3 , , A7 được tô màu đỏ thì bài toán thỏa mãn. Nếu các đoạn thẳng nối 2 điểm bất kì trong 6 điểm A2 , A3 , , A7 đều 0,5 không tô màu đỏ thì chúng được tô bởi 1 trong 2 màu trắng hoặc đen. Từ A2 ta kẻ được 5 đoạn thẳng đến các điểm A3 , A4 , , A7 là 0,5 A2 A3 , A2 A4 , , A2 A7 . Trong 5 đoạn thẳng này có ít nhất 3 đoạn được tô cùng một màu giả sử đó là A2 A3 , A2 A4 , A2 A5 được tô bởi màu trắng. Xét 3 đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ trong ba điểm A3 , A4 , A5 . Nếu có ít 0,5 nhất một đoạn được tô bởi màu trắng thì bài toán được thỏa mãn. Nếu không có đoạn nào được tô màu trắng thì 3 điểm A3 , A4 , A5 thỏa điều kiện bài toán.