›
›
›

Bài tập ôn tập môn Toán Lớp 12 - Chuyên đề 50: Các bài toán cực trị (Oxyz) - Năm học 2021-2022 (Kèm đáp án)

docx 12 trang Minh Khoa 25/04/2025 160
Download
Bạn đang xem tài liệu "Bài tập ôn tập môn Toán Lớp 12 - Chuyên đề 50: Các bài toán cực trị (Oxyz) - Năm học 2021-2022 (Kèm đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

File đính kèm:

  • docxbai_tap_on_tap_mon_toan_lop_12_chuyen_de_50_cac_bai_toan_cuc.docx
  • docxCD50-CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ LIÊN QUAN ĐẾN ĐIỂM, MẶT CẦU.docx

Nội dung text: Bài tập ôn tập môn Toán Lớp 12 - Chuyên đề 50: Các bài toán cực trị (Oxyz) - Năm học 2021-2022 (Kèm đáp án)

  1. Chuyên đề ㊿ CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ (OXYZ) Ⓐ KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM    Dạng ➊: Tìm điểm M thuộc (P) sao cho u aMA bMB cMC có u đạt min.  Phương pháp giải: ax bx cx x A B C 1 a b c    ayA byB cyC Tìm điểm I thõa mãn hệ thức aIB bIB cIC 0 tọa độ điểm I là: y1 a b c azA bzB czC z1 a b c         Phân tích u aMA bMB cMC a b c MI aIA bIB cIC a b c MI Khi đó u a b c MI u M là hình chiếu vuông góc của I lên (P). min   Viết phương trình đường thẳng IM đi qua I và vuông góc với (P) uIM n P Khi đó M P  IM . Dạng ❷: Tìm điểm M thuộc (P) sao cho T aMA2 bMB2 cMC 2 đạt max hoặc min.  Phương pháp giải:    Tìm điểm I thỏa mãn hệ thức aIA bIB cIC 0  2  2  2   2   2   2 Phân tích T aMA bMB cMC = a MI IA b MI IB c MI IC     a b c MI 2 2MI aIA bIB cIC aIA2 bIB2 cIC 2 (a b c)MI 2 aIA2 bIB2 cIC 2 . Nếu a b c 0 thì T đặt min; a b c 0 thì T đặt max. Khi đó Tmax ;Tmin MImin M là hình chiếu vuông góc của I lên (P). Dạng : Tìm điểm M thuộc (P) sao cho MA MB hoặc MA MB ❸ min max  Phương pháp giải: Kiểm tra vị trí tương đối của các điểm A và B so với mặt phẳng (P). Nếu A và B cùng phía (P) thì bài toán MA MB phải lấy đối xứng A qua (P) khi đó min MA MB MA MB A B dấu bằng xảy ra A , M , B thẳng hàng hay M A B  (P) .
  2. Bài toán tìm MA MB , ta có MA MB AB M là giao điểm trực tiếp của đường thẳng max AB và (P). Dạng ❺: Bài toán lập phương trình mặt phẳng, đường thẳng có yếu tố cực trị Phương pháp đại số: Gọi véc tơ pháp tuyến hoặc véc tơ chỉ phương của mặt phẳng (hoặc đường thẳng) cần lập là (a;b;c),(a 2 b2 c2 ) 0 Thiết lập một phương trình quy ẩn (a theo b,c hoặc ngược lại) từ một dữ kiện về mặt phẳng chứa đường, song song hoặc vuông góc. Giả sử phương trình thu gọn ẩn là a f (b;c) . Thiết lập phương trình khoảng cách mà đề bài yêu cầu, thay a f (b;c) vào ta được một phương trình hai ẩn b;c. Xét hàm khoảng cách d g b;c + Nếu c 0 thì b 0 d d1 lưu lại giá trị khoảng cách d1 này. b b + Nếu c 0 d g g t ;t c c Khảo sát hàm g t ta thu được kết quả.  Chú ý: Ax By Cz D Công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng d A;(P) 0 0 0 A2 B2 C 2   u ; AM Công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng d A;  ; với M thuộc . u    u ;u M .M 1 2 1 2 Công thức khoảng cách giữa hai đường thẳng d 1; 2   u ;u 1 2 Phương pháp hình học: Bài toán: Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ M đến (P) lớn nhất, với M là điểm không thuộc d.  Phương pháp giải:  Đường thẳng d xác định đi qua điểm A và có véc tơ chỉ phương là ud .
  3. Kẻ MH  (P);MK  d MH d M ; P và điểm K cố định. Ta có d M ; P MH MK d  (P) Suy ra dmax MK . Khi đó P  M ;d Gọi là mặt phẳng chứa M và d ta có:   n(P)  ud         n(P) ud ud ;MA n  n u ;MA (P) d     Khi đó (P) đi qua A và có véc tơ pháp tuyến là: n u u ;MA (P) d d Nếu A và B khác phía (P) thì bài toán MA MB phải lấy đối xứng A qua (P) bài toán tìm max MA MB M là giao điểm trực tiếp của đường thẳng AB và (P). min Dạng ❺: Bài toán tìm điểm M thuộc đường thẳng có yếu tố cực trị  Phương pháp giải: Tham số hóa điểm M theo phương trình đường thẳng. Biến đổi giả thiết về dạng y f t và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y f t .  Chú ý: 2 b Tam thức bậc hai: y ax bx c a 0 có đỉnh I ; . 2a 4a Bất đẳng thức véc tơ: Cho 2 véc tơ u a;b và v c;d ta có: u v u v 2 2 a b Khi đó a2 b2 c2 d 2 a c b d dấu bằng xảy ra . c d Ⓑ BÀI TẬP RÈN LUYỆN Câu 1. Cho các điểm (4;1; ― 1); (2;3; ― 2) (6;3; ― 12) và (푃): + 2 ― + 1 = 0. Tìm điểm M thuộc (P) sao cho |2 + 3 ― | 푖푛. Độ dài đoạn thẳng OM là Ⓐ. = 5.Ⓑ. = 3.Ⓒ. = 3.Ⓓ. = 9. Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................
  4. Câu 2. Trong không gian tọa độ cho tam giác ABC có ( ―1;2;3); (3;0; ― 1) (1;4;7) và (푃): ― 2 + 2 + 6 = 0. Gọi ( ; ; )là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho 2 + 2 + 2 nhỏ nhất. Giá trị biểu thức = 2 + 2 + 2là. Ⓐ. = 10.Ⓑ. = 17.Ⓒ. = 21.Ⓓ. = 26. Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 3. Cho các điểm (0;4; ― 2); (1;2; ― 1)và(푃): + + + 1 = 0. Biết điểm M thuộc (P) sao cho biểu thức 2 ― 2 2đạt giá trị lớn nhất. Tính OM. Ⓐ. = 6.Ⓑ. = 3.Ⓒ. = 2.Ⓓ. = 2. Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 4. Trong không gian , cho hai điểm (1;2;1); (2; ― 1;3). Điểm M trên mặt phẳng 2 2 sao cho ―2 lớn nhất. Khi đó = + có giá trị là Ⓐ. = 1.Ⓑ. = 0.Ⓒ. = ―1.Ⓓ. = 2. Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 5. : Trong không gian hệ tọa độ cho điểm (3;1;0); ( ―9;4;9)và mặt phẳng (P) có phương trình (푃):2 ― + + 1 = 0. Gọi I (a;b;c) là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho | ― | đạt giá trị lớn nhất. Khi đó tổng a +b +c bằng Ⓐ. + + = 22.Ⓑ. + + = ―4.Ⓒ. + + = ―13.Ⓓ. + + = 13. Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 6. Trong không gian hệ tọa độ cho mặt phẳng (P) có phương trình (푃): ― + 2 + 2 = 0và 2 điểm (0;1; ― 2); (2;0; ― 3). Gọi M (a;b;c) là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho + nhỏ nhất. Tính giá trị của T= a+b+Ⓒ. Ⓐ Ⓑ 1 Ⓒ Ⓓ 1 . = ―5. . = ― 5. . = ―1. . = 5. Lời giải  ..................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................
  5. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 7. Trong không gian hệ tọa độ cho ba điểm ( ―1;2;4); (0;2;1); (1;0;2). Mặt phẳng (푃) chứa đường thẳng đồng thời cách điểm một khoảng lớn nhất cắt các trục tọa dộ tại các điểm ,푃,푄. Thể tích của khối chóp . 푃푄 là: Ⓐ 9 Ⓑ 3 Ⓒ Ⓓ . = 2. . = 2. . = 9. . = 27. Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... 1 2 Câu 8. Trong không gian hệ tọa độ cho các điểm (1;4;2) và đường thẳng : 1 = 1 = 2. Mặt phẳng (푃)chứa đường thẳng đồng thời cách điểm một khoảng lớn nhất. Khi đó khoảng cách từ đến (푃) bằng: Ⓐ. = 210. Ⓑ. = 210. Ⓒ. = 21. Ⓓ. = 21. 10 30 5 10 Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 9. Trong không gian hệ tọa độ cho hai điểm (1;1; ― 1); (0;2;1)và mặt phẳng (P) có phương trình (푃):2 ― ― = 0. Gọi d là đường thẳng đi qua A nằm trong mặt phẳng (P), và cách điểm B một khoảng lớn nhất. Đường thẳng d cắt mặt phẳng ( ) tại điểm. Ⓐ. 푄(0;4;0). Ⓑ. 푄(1; ― 2;0). Ⓒ. 푄(0; ― 2;0). Ⓓ. 푄(1;4;0). Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... 1 2 Câu 10. Trong không gian hệ tọa độ cho đường thẳng :1 = 5 = 1 và hai điểm (1;1; ― 2); ( ―1;0;2). Viết phương trình đường thẳng 훥 đi qua A, vuông góc với đường thẳng d sao cho khoảng cách từ B đến 훥 là nhỏ nhất. Ⓐ 1 1 2 Ⓑ 1 1 2 . 2 = 5 = 8 . . 2 = 5 = 8 . Ⓒ 1 1 2 Ⓓ 1 1 2 . 2 = 5 = 8 . . 2 = 5 = 8 . Lời giải
  6.  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 11. Trong không gian hệ tọa độ cho hai điểm (1;2; ― 1); (3; ― 1; ― 5) và đường thẳng 1 1 훥: 2 = 3 = 1 . Gọi d là đường thẳng đi qua A và cắt đường thẳng sao cho khoảng cách từ B đến 훥 là lớn nhất, đường thẳng d đi qua các điểm nào trong các điểm sau: Ⓐ. (2;4; ― 2). Ⓑ. 퐹(2;3;0). Ⓒ. (2;4;0). Ⓓ. (2;0;0). Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 12. Trong không gian hệ tọa độ , gọi d là đường thẳng đi qua (0;2;1), song song với mặt 1 phẳng (푃):2 + + + 1 = 0 sao cho khoảng cách giữa d và 훥: 1 = 2 = 1 lớn nhất. Đường thẳng d đi qua điểm nào trong các điểm sau: Ⓐ. (1;9;10). Ⓑ. (1; ― 9; ― 8). Ⓒ. 푃(1; ― 9; ― 10). Ⓓ. 푄(1;9; ― 8). Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 13. Trong không gian hệ tọa độ cho ba điểm ( ―1;1;6); ( ―3; ― 2; ― 4); (1;2; ― 1) (2; ― 2;0). Gọi ( ; ; )làm điểm thuộc đường thẳng CD sao cho tam giác ABM có chu vi nhỏ nhất. Tính 푆 = + + . Ⓐ. 푆 = ―1. Ⓑ. 푆 = 1. Ⓒ. 푆 = ―2. Ⓓ. 푆 = 2. Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... 1 1 2 Câu 14. Trong không gian hệ tọa độ , cho hai đường thẳng훥1:2 = 1 = 1 và 훥2: 1 = 2 = 1 . Một mặt phẳng (P) vuông góc với 훥1, cắt trục tại A và cắt 훥2 tạiⒷ. Tìm độ dài nhỏ nhất của đoạn AⒷ. 24 Ⓐ. 2 30.Ⓑ. 2 31. Ⓒ. 6. Ⓓ. . 5 5 5 5 Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................
  7. Câu 15. Trong không gian hệ tọa độ cho mặt cầu (푆1) có tâm (2;1;1) bán kính bằng 4 và mặt cầu (푆2)có tâm퐽(2;1;5) bán kính bằng 2. (푃)là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với hai mặt cầu (푆1), (푆2). Đặt M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm O đến (푃). Giá trị M + m bằng Ⓐ. 8.Ⓑ. 8 3. Ⓒ. 9Ⓓ. 15. Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 16. Trong không gian hệ tọa độ cho mặt phẳng (푃): + ― ― 3 = 0 và hai điểm (1;1;1) ; ( ―3; ― 3; ― 3). Mặt cầu (푆) đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với (푃) tại điểmⒸ. Biết rằng C luôn thuộc đường tròn cố định. Tính bán kính đường tròn đó. Ⓐ. 푅 = 4. Ⓑ. 푅 = 6. Ⓒ. 푅 = 2 33. Ⓓ. 푅 = 2 11. 3 3 Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 17. Trong không gian hệ tọa độ , cho ba điểm (0;1;1), (3;0; ― 1), (0;21; ― 19)và mặt cầu (푆):( ― 1)2 + ( ― 1)2 + ( ― 1)2 = 1. ( ; ; ()) là điểm thuộc mặt cầu (푆)sao cho biểu thức = 3 2 +2 2 + 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng a + b + Ⓒ. Ⓐ Ⓑ Ⓒ 12 Ⓓ 14 . + + = 0. . + + = 12. . + + = 5 . . + + = 5 . Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 18. Trong không gian hệ tọa độ , cho các điểm ( ; 0 ;0), (0; ; 0), (0;0; ())với ≥ 4, ≥ 5, ≥ 6 và mặt cầu (푆) có bán kính bằng 3 10 ngoại tiếp tứ diện OABⒸ. Khi tổng 2 + + đạt giá trị nhỏ nhất thì mặt cầu (푆) tiếp xúc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây? Ⓐ. 풙 + 풚 + 풛 + ― = . Ⓑ. 풙 + 풚 ― 풛 + + = . Ⓒ. 풙 + 풚 ― 풛 + + = . Ⓓ. 풙 + 풚 + 풛 + ― = . Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................
  8. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ , cho tam giác với (1;0;0), (3;2;4), (0;5;4). Tìm tọa độ điểm thuộc mặt phẳng ( ) sao cho | + + 2 | nhỏ nhất. Ⓐ. (1;3;0).Ⓑ. (1; ― 3;0).Ⓒ. (3;1;0).Ⓓ. (2;6;0). Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 20. Trong không gian với hệ tọa độ cho (3;2;1), ( ―2;3;6). Điểm ( ; ; ) thay đổi thuộc mặt phẳng ( ). Tìm giá trị của biểu thức = + + khi | + 3 | nhỏ nhất. Ⓐ 7 Ⓑ 7 Ⓒ Ⓓ . ― 2. . 2. . 2. . ― 2. Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 21. Trong không gian cho ba điểm (1;1;1), ( ―1;2;1), (3;6; ― 5). Điểm thuộc mặt phẳng sao cho 2 + 2 + 2đạt giá trị nhỏ nhất là Ⓐ. (1;2;0).Ⓑ. (0;0; ― 1).Ⓒ. (1;3; ― 1).Ⓓ. (1;3;0). Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 22. Trong không gian với hệ toạ độ , cho hai điểm (2; ― 3;2), (3;5;4). Tìm toạ độ điểm trên trục so cho 2 + 2đạt giá trị nhỏ nhất. Ⓐ. (0;0;49).Ⓑ. (0;0;67).Ⓒ. (0;0;3).Ⓓ. (0;0;0). Lời giải  ..................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................
  9. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ cho các mặt cầu (푆1), (푆2), (푆3)có bán kính = 1và lần lượt có tâm là các điểm (0;3; ― 1), ( ―2;1; ― 1), (4; ― 1; ― 1). Gọi (푆)là mặt cầu tiếp xúc với cả ba mặt cầu trên. Mặt cầu 6có bán kính nhỏ nhất là Ⓐ. 푹 = ― .Ⓑ. 푹 = .Ⓒ. 푅 = 2 2.Ⓓ. 푅 = 10 ― 1. Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... = 0 Câu 24. Trong không gian cho (1; ― 1;2), ( ) = 0⇔ = 1, (0;1; ― 2). Gọi ( ; ; )là điểm = 3 thuộc mặt phẳng ( )sao cho biểu thức 푆 = . +2 . +3 . đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó = 12 + 12 + có giá trị là Ⓐ. = 3.Ⓑ. = ―3.Ⓒ. 푻 = .Ⓓ. 푻 = ― . Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 25. Trong không gian , cho ba điểm (0;0; ― 1), ( ―1;1;0), (1;0;1). Tìm điểm sao cho 3 2 +2 2 ― 2 đạt giá trị nhỏ nhất? Ⓐ. 3 ; 1 ; ― 1 .Ⓑ. ― 3 ; 1 ;2 . 4 2 4 2 Ⓒ. ― 3 ; 3 ; ― 1 .Ⓓ. ― 3 ; 1 ; ― 1 . 4 2 4 2 Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................
  10. Câu 26. Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho bốn điểm (2; ― 3;7), (0;4;1), (3;0;5) và (3;3;3). Gọi là điểm nằm trên mặt phẳng ( ) sao cho biểu thức | + + + | đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó tọa độ của là: Ⓐ. (0;1; ― 4).Ⓑ. (2;1;0).Ⓒ. (0;1; ― 2).Ⓓ. (0;1;4). Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm (2; ― 3;7), (0;4; ― 3)và (4;2;5). Biết điểm ( 0; 0; 0)nằm trên ( )sao cho | + + |có giá trị nhỏ nhất. Khi đó tổng 푃 = 0 + 0 + 0bằng Ⓐ. 푃 = 0.Ⓑ. 푃 = 6.Ⓒ. 푃 = 3.Ⓓ. 푃 = ― 3. Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 28. Trong không gian với hệ tọa độ , cho tam giác với (2;1;3), (1; ― 1;2), (3; ― 6;1). Điểm ( ; ; ) thuộc mặt phẳng ( ) sao cho 2 + 2 + 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức 푃 = + + . Ⓐ. 푃 = 0.Ⓑ. 푃 = 2.Ⓒ. 푃 = 6.Ⓓ. 푃 = ― 2. Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm (1;1;2), ( ―1;0;4), (0; ― 1;3) và điểm thuộc mặt cầu (푆): 2 + 2 + ( ― 1)2 = 1. Khi biểu thức 2 + 2 + 2 đạt giá trị nhỏ nhất thì độ đài đoạn bằng Ⓐ. 2.Ⓑ. 6.Ⓒ. 6.Ⓓ. 2. Lời giải