Bài tập ôn tập môn Toán Lớp 12 - Chuyên đề 49: Cực trị số phức - Năm học 2021-2022 (Kèm đáp án)

Nội dung text: Bài tập ôn tập môn Toán Lớp 12 - Chuyên đề 49: Cực trị số phức - Năm học 2021-2022 (Kèm đáp án)

1. Chuyên đề ㊾ CỰC TRỊ SỐ PHỨC Ⓐ KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM ➊. Phương pháp đại số: Bất đẳng thức tam giác: z1 z2 z1 z2 , dấu "=" khi z1 kz2 với k ≥ 0. z1 z2 z1 z2 , dấu "=" khi z1 kz2 với k ≤ 0. z z 2 z z 2 2 z 2 z 2 . Đẳng thức hình bình hành: 1 2 1 2 1 2 Bất đẳng thức khác: A B 2 BĐT Cauchy: A2 B2 . Dấu = xảy ra khi A B. 2 a x BĐT Bunhiacôpxki: Ax By 2 A2 B 2 x 2 y 2 . Dấu = xảy ra khi . b y 2 2 a x BĐT Mincôpxki: a2 x2 b2 y2 a b x y . Dấu = xảy ra khi . b y ❷. Phương pháp hình học: Nếu M1, M2 lần lượt là các điểm biểu diễn của hai số phức z1, z2 thì z1 z2 M1M2 . Nếu số phức z thỏa mãn z a bi R 0 thì tập hợp các điểm biểu diễn z là đường tròn tâm I (a;b), bán kính R. Khi đó 2 2 2 2 min z OI R z0 R a b R và max z OI R z0 R a b R. Nếu số phức z thỏa mãn z a bi z c di thì tập hợp các điểm biểu diễn z là đường trung trực của AB, với A(a; b), B(c; d ). a2 b2 c2 d 2 Khi đó, min z d(O, ) . 2 (a c)2 (b d)2 Nếu số phức z thỏa mãn z c z c 2a,(a c 0) thì tập hợp các điểm biểu diễn z là elip x2 y2 1. Khi đó, min z b a 2 c 2 (nửa độ dài trục bé) và max z a (nửa độ dài trục a2 a2 c2 lớn). ❸. Một số dạng toán thường gặp: Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng. ✓ Cho số phức z thỏa mãn z a bi z , tìm z . Khi đó ta có Min • Quỹ tích điểm M x; y biểu diễn số phức z là đường trung trực đoạn OA với A a;b 1
2. 1 1 z z a2 b2 Min 2 0 2 • a b z i 2 2 ✓ Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi z c di . Tìm z . Ta có min • Quỹ tích điểm M x; y biểu diễn số phức z là đường trung trực đoạn AB với A a;b , B c;d a2 b2 c2 d 2 • z d O, AB Min 2 a c 2 b d 2 Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn. ✓ Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi R 0 z z R . Tìm z , z . Ta có 0 Max Min • Quỹ tích điểm M x; y biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I a;b bán kính R z OI R a2 b2 R z R Max 0 • z OI R a2 b2 R z R Min 0 Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là Elip. ✓ Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z c z c 2a, a c Khi đó ta có x2 y2 • Quỹ tích điểm M x; y biểu diễn số phức z là Elip: 1 a2 a2 c2 z a Max • z a2 c2 Min ✓ (Elip không chính tắc). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z z1 z z2 2a Thỏa mãn 2a z1 z2 . Khi đề cho Elip dạng không chính tắc z z1 z z2 2a, z1 z2 2a và z1, z2 c, ci ). Tìm z1 z2 2c Max, Min của P z z . Đặt 0 2 2 2 b a c z1 z2 PMax a Nếu z 0 (dạng chính tắc) 0 2 PMin b z z z z z 1 2 a 1 2 0 PMax z0 a Nếu 2 2 z z k z z 0 1 0 2 z1 z2 PMin z0 a 2 z1 z2 z1 z2 z0 a PMax z0 a Nếu 2 2 z0 z1 k z0 z2 Nếu z0 z1 z0 z2 z1 z2 P z b Min 0 2 2
3. Ⓑ BÀI TẬP RÈN LUYỆN Câu 1: Với mọi số phức thỏa mãn | ― 1 + 푖| ≤ 2, ta luôn có Ⓐ. |풛 + | ≤ .Ⓑ. | 풛 ― + 풊| ≤ . Ⓒ. | 풛 + ― 풊| ≤ .Ⓓ. |풛 + 풊| ≤ . Lời giải  ...................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... 1 Câu 2: Cho số phức = 1 (2푖 1),( ∈ ℤ). Tìm các giá trị của để | ― 푖| < 1. Ⓐ. .Ⓑ. .Ⓒ. ퟒ.Ⓓ. vô số. Lời giải  ...................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... Câu 3: Gọi 1, 2là hai trong các số phức thỏa mãn | ― 2 + 푖| = 3và | 1 ― 2| = 2. Tính môđun của số phức 푤 = 1 + 2 ― 4 + 2푖. Ⓐ. |풘| = .Ⓑ. |풘| = .Ⓒ. |풘| = ퟒ.Ⓓ. |풘| = ퟒ . Lời giải  ...................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... Câu 4: Giả sử 1, 2 là hai nghiệm phức của phương trình |(2 + 푖)| | ― (1 ― 2푖) | = |1 + 3푖| và | 1 ― 2| = 1. Tính = |2 1 + 3 2| Ⓐ. = 19.Ⓑ. = 25.Ⓒ. = 5.Ⓓ. = 19. 3
4. Lời giải  ...................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... Câu 5: Gọi 푴 là giá trị lớn nhất của 1 ― 1 với m là số thựⒸ. Mệnh đề nào sau đây đúng? | 푖 | Ⓐ. 푴 ∈ ; .Ⓑ. 푴 ∈ ; .Ⓒ. 푴 ∈ ; .Ⓓ. 푴 ∈ ; . Lời giải  ...................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... Câu 6: Cho số phức = + 푖với , là hai số thực thỏa mãn ― 2 = 1. Tính | |khi biểu thức | + 1 + 4푖| + | ― 2 ― 5푖|đạt giá trị nhỏ nhất. 1 2 Ⓐ. .Ⓑ. 5.Ⓒ. 1.Ⓓ. . 5 5 5 Lời giải  ...................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... Câu 7: Xét các số phức = + i,( , ∈ ℝ) thỏa mãn | ― 2 ― 4푖| = | ― 2푖| và | | đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm 푃 = 3 ― 2 . 4
5. Ⓐ. 2.Ⓑ. 3.Ⓒ. 4.Ⓓ. 5. Lời giải  ...................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... Câu 8: Nếu là số phức thỏa | | = | + 2푖|thì giá trị nhỏ nhất của | ― 푖| + | ― 4|là Ⓐ. 2.Ⓑ. 3.Ⓒ. 4.Ⓓ. 5. Lời giải  ...................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... Câu 9: Trong các số phức thỏa mãn: | ― 1 + 푖| = | + 1 ― 2푖|, số phức có môđun nhỏ nhất có phần ảo là Ⓐ 3 Ⓑ 3 Ⓒ 3 Ⓓ 3 . 10. . 5. . ― 5. . ― 10. Lời giải  ...................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... 5
6. Câu 10: Cho các số phức , 푤thỏa mãn | ― 5 + 3푖| = 3, |푖푤 + 4 + 2푖| = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức = |3푖 + 2푤|. Ⓐ. ퟒ + .Ⓑ. + .Ⓒ. + .Ⓓ. ퟒ + . Lời giải  ...................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... Câu 11: Xét số phức thỏa mãn | ― 3 ― 2푖| ≤ 2. Giá trị nhỏ nhất của |2 ― 6 + 5푖| bằng 3 5 Ⓐ. .Ⓑ. .Ⓒ. .Ⓓ. . 3 5 2 2 Lời giải  ...................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... Câu 12: Cho số phức thỏa mãn |2 ― 3 ― 4푖| = 10. Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của | |. Khi đó ― bằng Ⓐ. 5.Ⓑ. 15.Ⓒ. 10.Ⓓ. 20. Lời giải  ...................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... 2 2 Câu 13: Cho các số phức 1 = ―2 + 푖, 2 = 2 + 푖 và số phức thay đổi thỏa mãn | ― 1| + | ― 2| = 16. Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của| |. Giá trị biểu thức 2 ― 2 bằng Ⓐ. 15.Ⓑ. 7.Ⓒ. 11.Ⓓ. 8. Lời giải  ...................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... 6
7. ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... Câu 14: Cho số phức thỏa mãn |(1 + 푖) + 1 ― 3푖| = 3 2. Giá trị lớn nhất của biểu thức 푃 = | + 2 + 푖| + 6| ― 2 ― 3푖| bằng Ⓐ. 5 6.Ⓑ. 15(1 + 6).Ⓒ. 6 5.Ⓓ. 10 +3 15. Lời giải  ...................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... Câu 15: Cho số phức thoả mãn | ― 3 ― 4푖| = 5. Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 푃 = | + 2|2 ― | ― 푖|2. Tính môđun của số phức 푤 = + 푖. Ⓐ. |푤| = 1258.Ⓑ. |푤| = 1258.Ⓒ. |푤| = 2 314.Ⓓ. |푤| = 2 309. Lời giải  ...................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... Câu 16: Cho hai số phức 1, 2thỏa mãn | 1 + 1 ― 푖| = 2và 2 = 푖 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức | 1 ― 2| Ⓐ. = 2 2 +2.Ⓑ. = 2 +1.Ⓒ. = 2 2.Ⓓ. = 2. Lời giải  ...................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... 7
8. ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... Câu 17: Cho số phức thỏa mãn| ― 2| + | + 2| = 5. Gọi , lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của . Tính + . 3 Ⓐ. .Ⓑ. .Ⓒ. .Ⓓ. . 8 2 4 Lời giải  ...................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... Câu 18: Cho số phức thỏa mãn | ― 1 + 3푖| + | + 2 ― 푖| = 8. Giá trị nhỏ nhất của |2 + 1 + 2푖|là Ⓐ. = 4.Ⓑ. = 9.Ⓒ. = 8.Ⓓ. = 39. Lời giải  ...................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... Câu 19: Cho số phức thỏa mãn | ― 2| + | + 2| = 5. Gọi , lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của | |. Tính + . Ⓐ 17 Ⓑ Ⓒ Ⓓ . + = 2 . . + = 8. . + = 1. . + = 4. Lời giải  ...................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... 8
9. Câu 20: Cho số phức z a bi ( , ∈ ℝ)thỏa | + 4| + | ― 4| = 10và | ― 6|lớn nhất. Tính 푆 = + . Ⓐ. 푆 = ―3.Ⓑ. 푆 = 5.Ⓒ. 푆 = ―5.Ⓓ. 푆 = 11. Lời giải  ...................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... Câu 21: Cho số phức thỏa mãn | + | ≤ 2và | ― | ≤ 2. Gọi , lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của = | ― 2푖|. Tổng + 푛bằng Ⓐ. 1 + 10.Ⓑ. 2 + 10.Ⓒ. 4.Ⓓ. 1. Lời giải  ...................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... Câu 22: Cho hai số phức và 푤 thay đổi nhưng thỏa mãn điều kiện | | = |푤|2 ― |푤 ― 1 ― 푖|2 = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức = | 2 2푤 ― 푤 ― 1|. Ⓐ. 3 2 4.Ⓑ. 9 10 20.Ⓒ. 2 ―1.Ⓓ. 3 10 5. 4 20 5 Lời giải  ...................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ------------- HẾT ------------- 9