Bài tập ôn tập môn Toán Lớp 12 - Chuyên đề 48: Ứng dụng tích phân - Năm học 2021-2022 (Kèm đáp án)

Nội dung text: Bài tập ôn tập môn Toán Lớp 12 - Chuyên đề 48: Ứng dụng tích phân - Năm học 2021-2022 (Kèm đáp án)

1. Chuyên đề ㊽ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Ⓐ KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM ❖ Ghi nhớ  Định lý: Cho hàm số = ( ) liên tục, không âm trên[ ; ]. Khi đó diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số = ( ), trục hoành và 2 đường thẳng = , = là: 푆 = ∫ ( ) Bài toán 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số = ( ) liên tục trên đoạn [ ; ], trục hoành và hai đường thẳng = , = được xác định: 푆 = ∫ | ( )| Bài toán 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số = 1( ), = 2( ) liên tục trên đoạn [ ; ] và hai đường thẳng = , = được xác định: 푆 = ∫ | 1( ) ― 2( )| ❖ Ghi nhớ ❷ ➢ Nếu không đổi dấu trên đoạn thì ( ) [ ; ] 푆 = ∫ | ( )| = |∫ ( ) | ➢ Nếu phương trình ( ) = 0 có nghiệm duy nhất = thuộc khoảng ( ; ) thì 푆 = = + = + ∫ | ( )| ∫ | ( )| ∫ | ( )| |∫ ( ) | |∫ ( ) | ➢ Nếu phương trình ( ) = 0 có hai nghiệm 1 < 2 thuộc khoảng ( ; ) thì 푆 = ∫ | ( )| = |∫ 1 ( ) | + |∫ 2 ( ) | + |∫ ( ) | 1 2 ❖ Ghi nhớ ❸ ➢ Nếu ( ) ≥ ( ), ∀ ∈ [ ; ] (đồ thị ( 1) nằm phía trên đồ thị ( 2)) thì ta có: 푆 = = ∫ | ( ) ― ( )| ∫ [ ( ) ― ( )] ➢ Nếu ( ) ≤ ( ), ∀ ∈ [ ; ] (đồ thị ( 1) nằm phía dưới đồ thị ( 2)) thì ta có: 푆 = = ― ∫ | ( ) ― ( )| ∫ [ ( ) ― ( )] ❖ Ghi nhớ ❹ ➢ Thể tích vật thể: Gọi là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; 푆( ) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm , ( ≤ ≤ ). Giả sử 푆( ) là hàm số liên tục trên đoạn [ ; ].
2. ▪ Dạng 1: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường = ( ), trục hoành và hai đường thẳng = , = quanh trục Ox: ▪ Dạng 2: Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi = ( ), = ( ), = , = .  Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị: ( 1): = ( ),( 2): = ( ) và hai đường thẳng = , = được xác định bởi công thức: 푆 = . ∫ | ( ) ― ( )| Ⓑ BÀI TẬP RÈN LUYỆN Câu 1. Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây? y y x2 2x 1 2 1 O x y x2 3 Ⓐ. 2 2 .Ⓑ. 2 . ∫―1(2 ― 2 ― 4) ∫―1( ―2 + 2) Ⓒ. 2 . Ⓓ. 2 2 . ∫―1(2 ― 2) ∫―1( ―2 + 2 + 4) Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 2. Cho hàm số ( ) liên tục trên ℝ. Gọi 푆 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường = ( ), = 0, = ― 1 và = 4. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? 4 4 Ⓐ. 푆 = ― 1 + .Ⓑ. 푆 = 1 ― . ∫―1 ( ) ∫1 ( ) ∫―1 ( ) ∫1 ( )
3. 4 4 Ⓒ. 푆 = 1 + .Ⓓ. 푆 = ― 1 ― . ∫―1 ( ) ∫1 ( ) ∫―1 ( ) ∫1 ( ) Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 3. Cho hàm số = ( ) liên tục trên ℝ. Gọi 푆 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường = ( ), = 0, = ― 1 và = 5. . Mệnh đề nào sau đây đúng? 5 5 Ⓐ. 푆 = 1 .Ⓑ. 푆 = 1 . ∫―1 ( ) + ∫1 ( ) ∫―1 ( ) ― ∫1 ( ) 5 5 Ⓒ. 푆 = ― 1 .Ⓓ. 푆 = ― 1 . ∫―1 ( ) + ∫1 ( ) ∫―1 ( ) ― ∫1 ( ) Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 4. Cho hàm số ( ) liên tục trên ℝ. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi cá đường = ( ), = 0, = ― 2 và = 3. Mệnh đề nào dưới đây đúng? y y= f(x) 2 x O 1 3 Ⓐ. 푆 = 1 ― 3 .Ⓑ. 푆 = ― 1 + 3 . ∫―2 ( ) ∫1 ( ) ∫―2 ( ) ∫1 ( ) Ⓒ. 푆 = 1 + 3 .Ⓓ. 푆 = ― 1 ― 3 . ∫―2 ( ) ∫1 ( ) ∫―2 ( ) ∫1 ( ) Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 5. Diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình bên bằng
4. Ⓐ. 2 2 .Ⓑ. 2 2 . ∫―1( ―2 + 2 + 4) ∫―1(2 ― 2 ― 4) Ⓒ. 2 2 . Ⓓ. 2 2 . ∫―1( ―2 ― 2 + 4) ∫―1(2 + 2 ― 4) Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 6. Diện tích 푆 của hình phẳng giới hạn bởi các đường = 2 2, = ― 1, = 0 và = 1 được tính bởi công thức nào dưới đây? Ⓐ. 푆 = 1 2 .Ⓑ. 푆 = 1 2 . ∫0 (2 + 1) ∫0 (2 ― 1) Ⓒ. 푆 = 1 2 2 .Ⓓ. 푆 = 1 2 . ∫0 (2 + 1) ∫0 (2 + 1) Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 7. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường = 2 ― 1 và = ― 1 bằng Ⓐ Ⓑ 13 Ⓒ 13 Ⓓ 1 . 6. . 6 . . 6 . . 6. Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 8. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường = 2 ― 2 và = 3 ― 2 bằng 9 9 125 125 Ⓐ. .Ⓑ. .Ⓒ. .Ⓓ. . 2 2 6 6 Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................
5. Câu 9. Cho hình phẳng ( ) giới hạn bởi các đường = 2 +3, = 0, = 0, = 2. Gọi là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay ( ) xung quanh trục . Mệnh đề nào dưới đây đúng? Ⓐ. = 2 2 2 .Ⓑ. = 2 2 . ∫0 ( + 3) ∫0 ( + 3) Ⓒ. = 2 2 2 .Ⓓ. = 2 2 . ∫0 ( + 3) ∫0 ( + 3) Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 10. Gọi là hình phẳng giới hạn bởi các đường = 푒3 , = 0, = 0 và = 1. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục bằng Ⓐ. 1 3 .Ⓑ. 1 6 .Ⓒ. 1 6 .Ⓓ. 1 3 . ∫0 푒 ∫0 푒 ∫0 푒 ∫0 푒 Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 11. Gọi là hình phẳng giới hạn bởi các đường = 푒 , = 0, = 0 và = 1. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục bằng 1 1 1 1 Ⓐ. ∫ 푒2 . ∫ 푒 Ⓒ. ∫ 푒 .Ⓓ. ∫ 푒2 . 0 Ⓑ. 0 0 0 Lời giải  ..................................................................................................................................................... Câu 12. Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong = 2 + 표푠 , trục hoành và các đường thẳng = 0, = 2. Khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành có thể tích bằng bao nhiêu? Ⓐ. = ― 1 Ⓑ. = ( ― 1) Ⓒ. = ( + 1) Ⓓ. = + 1 Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 13. Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong = 2 + 푠푖푛 , trục hoành và các đường thẳng = 0, = . Khối tròn xoay tạo thành khi quay quay quanh trục hoành có thể tích bằng bao nhiêu? Ⓐ. = 2( + 1) Ⓑ. = 2 ( + 1) Ⓒ. = 2 2 Ⓓ. = 2 Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................
6. Câu 14. Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong = 푒 , trục hoành và các đường thẳng = 0, = 1. Khối tròn xoay tạo thanh khi quay quanh trục hoành có thể tích bằng bao nhiêu? 2 2 2 2 Ⓐ. 푒 .Ⓑ. (푒 1).Ⓒ. 푒 1.Ⓓ. (푒 1). = 2 = 2 = 2 = 2 Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 15. Cho hình phẳng giới hạn với đường cong = 2 + 1, trục hoành và các đường thẳng = 0, = 1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành có thể tích bằng bao nhiêu? Ⓐ ퟒ흅 Ⓑ Ⓒ ퟒ Ⓓ . 푽 = . 푽 = 흅 . 푽 = . 푽 = Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 16. Cho hình phẳng ( ) giới hạn bởi các đường thẳng = 2 +2, = 0, = 1, = 2. Gọi là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay ( )xung quanh trục . Mệnh đề nào dưới đây đúng? Ⓐ. = 2 2 2 .Ⓑ. = 2 2 2 . ∫1 ( + 2) ∫1 ( + 2) Ⓒ. = 2 2 .Ⓓ. = 2 2 . ∫1 ( + 2) ∫1 ( + 2) Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 17. Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng = 1 và = 3, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ (1 ≤ ≤ 3) thì được thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là 3 và 3 2 ― 2. Ⓐ Ⓑ 124 Ⓒ 124 Ⓓ . = 32 + 2 15 . = 3 . = 3 . = (32 + 2 15) Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 18. Ông An có một mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn bằng 16 và độ dài trục bé bằng10 . Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8 và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng. Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/1 2. Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó?
7. Ⓐ. 7.862.000 đồngⒷ. 7.653.000 đồngⒸ. 7.128.000 đồngⒹ. 7.826.000 đồng Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 19. Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc 푣(km/h) phụ thuộc thời gian 푡(ℎ)có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh (2;9) và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường 푠 mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó. Ⓐ. 푠 = 24,25(km) Ⓑ. 푠 = 26,75(km) Ⓒ. 푠 = 24,75(km) Ⓓ. 푠 = 25,25(km) Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 20. Một chất điểm xuất phát từ , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi 1 58 quy luật 2 , trong đó là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển 푣(푡) = 120푡 + 45푡( /푠) 푡 động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm cũng xuất phát từ , chuyển động thẳng cùng hướng với nhưng chậm hơn 3 giây so với và có gia tốc bằng /푠2 ( là hằng số). Sau khi xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp . Vận tốc của tại thời điểm đuổi kịp bằng Ⓐ. 25( /푠).Ⓑ. 36( /푠).Ⓒ. 30( /푠).Ⓓ. 21( /푠). Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................
8. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 21. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol = ( ― 2)2, đường cong = 3 và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ bên dưới) bằng 11 73 7 5 Ⓐ. .Ⓑ. .Ⓒ. .Ⓓ. . 푆 = 2 푆 = 12 푆 = 12 푆 = 2 Lời giải: Chọn C Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số = ( ― 2)2 và = 3 là = 1. 7 Vậy 푆 = 1 3 + 2 2 hay 푆 = .$ ∫0 ∫1 ( ― 2) 12 Câu 22. Cho hàm số = ( ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ bên. Biết rằng diện tích các hình ( ),( ) lần lượt bằng 3 và 7. Tích tích phân 2 bằng ∫0 표푠 . (5 푠푖푛 ― 1) Ⓐ 4 Ⓑ Ⓒ 4 Ⓓ . = ― 5. . = 2. . = 5. . = ― 2. Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................
9. Câu 23. Cho hình thang cong ( ) giới hạn bởi các đường = 푒 , = 0, = 0, = 푙푛 4. Đường thẳng = (0 < < 푙푛 4) chia ( ) thành hai phần có diện tích là 푆1 và 푆2 như hình vẽ bên. Tìm để 푆1 = 2푆2. ln 4 2 Ⓐ. = 푙푛 4.Ⓑ. = 푙푛 2.Ⓒ. = 푙푛 8.Ⓓ. = 푙푛 3. 3 3 Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 24. Cho ( ) là hình phẳng giới hạn bởi parabol = 3 2, cung tròn có phương trình = 4 ― 2 (với 0 ≤ ≤ 2) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của ( ) bằng y 2 O 2 x Ⓐ. 4 3.Ⓑ. 4 3.Ⓒ. 4 2 3 3.Ⓓ. 5 3 2 . 12 6 6 3 Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 25. Cho hai hàm số ( ) = 3 + 2 + ― 2 và ( ) = 2 +푒 + 2 với , , , ,푒 ∈ ℝ. Biết rằng đồ thị của hàm số = ( ) và = ( ) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là ― 2; ― 1;1 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị có diện tích bằng?
10. Ⓐ 37 Ⓑ 13 Ⓒ 9 Ⓓ 37 . 6 . . 2 . . 2. . 12. Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... 1 Câu 26. Cho hai hàm số ( ) = 3 + 2 + ― 1 và g x dx2 ex ( , , , ,푒 ∈ ℝ). Biết rằng 2 đồ thị của hàm số = ( ) và = ( ) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt ― 3; ― 1;2 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng 253 125 253 125 Ⓐ. .Ⓑ. .Ⓒ. .Ⓓ. . 12 12 48 48 Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... 1 2 Câu 27. Cho đường thẳng = va parabol = 2 + ( là tham số thực dương). Gọi 푆1,푆2 lần lượt là diện tích hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi 푆1 = 푆2 thì thuộc khoảng nào dưới đây?