Bài tập ôn tập môn Toán Lớp 12 - Chuyên đề 45: Phương trình mặt phẳng - Năm học 2021-2022 (Kèm đáp án)

Nội dung text: Bài tập ôn tập môn Toán Lớp 12 - Chuyên đề 45: Phương trình mặt phẳng - Năm học 2021-2022 (Kèm đáp án)

1. Chuyên đề ㊺ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ⓐ KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM ❖ Ghi nhớ ➊  Phương trình tổng quát của mặt phẳng. Định nghĩa: • Phương trình có dạng + + + = 0 trong đó , , không đồng thời bằng 0 được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng. • Chú ý. Nếu mặt phẳng (훼) có phương trình tổng quát là + + + = 0 thì nó có một vectơ pháp tuyến là 푛 = ( ; ; ). Phương trình mặt phẳng đi qua điểm 0( 0; 0; 0) nhận vectơ 푛 = ( ; ; ) khác 0 làm vectơ pháp tuyến là ( ― 0) + ( ― 0) + ( ― 0) = 0. ❖ Ghi nhớ ➋ • Hai vectơ , không cùng phương là cặp vectơ chỉ phương của (훼) nếu các giá của chúng song song hoặc nằm trên (훼). • Chú ý: Nếu 푛 là một vectơ pháp tuyến của (훼) thì 푛( ≠ 0) cũng là vectơ pháp tuyến của (훼). Nếu , là một cặp vectơ chỉ phương của( 훼) thì 푛 = , là một vectơ pháp tuyến của (훼). Ⓑ BÀI TẬP RÈN LUYỆN Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm ( ―1;0;1), ( ―2; 1;1). Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn là Ⓐ. ― + 2 = 0.Ⓑ. ― + + 2 = 0.Ⓒ. ― ― 2 = 0.Ⓓ. ― + 1 = 0. Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 2: Trong không gian , mặt phẳng đi qua tâm của mặt cầu ( ― 1)2 + ( + 2)2 + 2 = 12và song song với mặt phẳng ( )có phương trình là:
2. Ⓐ. 풚 + = .Ⓑ. 풚 ― = .Ⓒ. 풚 + = .Ⓓ. 풙 + 풛 ― = . Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 3: Trong không gian , mặt phẳng (푃) đi qua hai điểm (1;2;0), (2;3;1) và song song với trục có phương trình là Ⓐ. 풙 ― 풚 + = .Ⓑ. 풙 + 풚 ― = .Ⓒ. 풙 + 풛 ― = .Ⓓ. 풙 ― 풚 ― = . Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm (4;0;1) và ( ―2;2;3). Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng ? Ⓐ. 풙 + 풚 + 풛 ― = .Ⓑ. 풙 ― 풚 ― 풛 ― = . Ⓒ. 풙 ― 풚 ― 풛 + = .Ⓓ. 풙 ― 풚 ― 풛 = . Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm (1; ― 1;5) và (0;0;1). Mặt phẳng (훼) chứa , và song song với trục có phương trình là Ⓐ. (훼):2 + ― 3 = 0.Ⓑ. (훼):4 ― + 1 = 0. Ⓒ. (훼): ― 4 + 2 = 0.Ⓓ. (훼): + 4 ― 1 = 0. Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 6: Điểm nào sau đây thuộc cả hai mặt phẳng ( )và mặt phẳng (푃): + + ― 3 = 0? Ⓐ. (1;1;0).Ⓑ. (0;2;1).Ⓒ. 푃(0;0;3).Ⓓ. 푄(2;1;0). Lời giải  ..................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................
3. Câu 7: Trong không gian , mặt phẳng (푃): + + ― 3 = 0đi qua điểm nào dưới đây Ⓐ. 푪( ; ; ).Ⓑ. ( ; ; ).Ⓒ. 푫( ; ; ).Ⓓ. ( ; ; ). Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 8: Trong không gian , mặt phẳng (훼):1 + 2 + 3 = 1 không đi qua điểm nào sau đây? Ⓐ. (0;0;3).Ⓑ. (1;0;0).Ⓒ. (0;2;0).Ⓓ. (0;0;0). Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 9: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho mặt phẳng (푃): ― + 5 + 6 = 0. Hỏi mặt phẳng này có gì đặc biệt? Ⓐ. (푃) đi qua gốc tọa độ.Ⓑ. (푃) vuông góc với ( ). Ⓒ. (푃) vuông góc với ( ).Ⓓ. (푃) vuông góc với ( ). Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai mặt phẳng (푃):2 + + ― 2 = 0và (푄) : + 푛 + 2 + 8 = 0song song với nhau. Giá trị của và 푛lần lượt là Ⓐ 1 Ⓑ 1 Ⓒ 1 Ⓓ 1 . 4và 4. . 4và 2. . 2và 2. . 2và 4. Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng (푃)có phương trình + + ―2 = 0, ≠ 0, xét điểm ( ; ; ). Mệnh đề nào sau đây đúng? Ⓐ. Điểm thuộc mặt phẳng (푃). Ⓑ. Mặt phẳng (푃)đi qua trung điểm của đoạn . Ⓒ. Mặt phẳng (푃)đi qua hình chiếu của trên trục . Ⓓ. Mặt phẳng (푃)đi qua hình chiếu của trên mặt phẳng ( ). Lời giải
4.  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai mặt phẳng (푃): + ( + 1) ― 2 + = 0 và (푄):2 ― + 3 = 0, với là tham số thựⒸ. Để (푃) và (푄) vuông góc với nhau thì giá trị thực của bằng bao nhiêu? Ⓐ. = ―5.Ⓑ. = 1.Ⓒ. = 3.Ⓓ. = ―1. Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 13: Trong không gian , cho ba điểm (0;1; ― 2), (3;1;1) và ( ―2;0;3). Mặt phẳng ( ) đi qua điểm nào dưới đây ? Ⓐ. (2;1;0).Ⓑ. 푄( ―2;1;0).Ⓒ. (2; ― 1;0).Ⓓ. ( ―2; ― 1;0). Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 14: Cho mặt cầu (푆1) có tâm 1(3;2;2) bán kính 푅1 = 2, mặt cầu (푆2) có tâm 2(1;0;1) bán kính 푅2 = 1. Phương trình mặt phẳng (푃) đồng thời tiếp xúc với (푆1) và (푆2) và cắt đoạn 1 2 có dạng 2 + + + = 0. Tính = + + . Ⓐ. ―5.Ⓑ. ―1.Ⓒ. ―3.Ⓓ. 2. Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 15: Trong không gian với hệ toạ độ , cho mặt cầu (푆): 2 + 2 + 2 ―2 ― 2 ― 2 = 0 và điểm (2;2;0). Viết phương trình mặt phẳng ( ), biết rằng điểm thuộc mặt cầu (푆), có hoành độ dương và tam giác đều. Ⓐ. ― ― = 0.Ⓑ. ― + = 0.Ⓒ. ― ― 2 = 0.Ⓓ. ― + 2 = 0. Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................
5. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 16: Trong không gian , cho mặt cầu (푆):( ― 2)2 + ( ― 3)2 + ( ― 4)2 = 2 và điểm (1;2;3) . Xét điểm thuộc mặt cầu (푆)sao cho đường thẳng tiếp xúc với (푆), luôn thuộc mặt phẳng có phương trình là Ⓐ. 2 + 2 + 2 + 15 = 0.Ⓑ. 2 + 2 + 2 ― 15 = 0. Ⓒ. + + + 7 = 0. Ⓓ. + + ― 7 = 0. Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 17: Trong không gian , cho mặt cầu (푆) tâm (1;2;3) bán kính 푅 = 3 và hai điểm (2;0;0), (0;1;0). (훼): + + + = 0 là mặt phẳng qua MN và cắt (푆) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất. Tính = + + . Ⓐ. ―1.Ⓑ. 4.Ⓒ. 2.Ⓓ. 3. Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 18: Trong không gian , cho hai điểm (1;2;4), (0;0;1) và mặt cầu (푆):( + 1)2 +( ― 1)2 + 2 = 4. Mặt phẳng (푃): + + + 3 = 0 đi qua , và cắt mặt cầu (푆) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính = + + . Ⓐ 27 Ⓑ 31 Ⓒ 3 Ⓓ 33 . = 4 . . = 5 . . = ― 4. . = 5 . Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................
6. Câu 19: Trong không gian , cho mặt cầu (푆):( ― 1)2 + ( ― 2)2 + ( ― 3)2 = 9 và đường thẳng 6 2 2 훥: 3 = 2 = 2 . Phương trình mặt phẳng (푃) đi qua điểm (4;3;4), song song với đường thẳng 훥 và tiếp xúc với mặt cầu (푆)là: Ⓐ. 2 ― ― 2 ― 10 = 0.Ⓑ. 2 + + 2 ― 19 = 0. Ⓒ. ― 2 + 2 ― 1 = 0.Ⓓ. 2 + 2 + ― 18 = 0. Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... 1 1 2 Câu 20: Cho đường thẳng 훥: = = và hai điểm (1;1;0), ( ― 1;0;1). Biết điểm ( ; ; ) 1 1 2 thuộc 훥 sao cho biểu thức = | ― | đạt giá trị lớn nhất. Khi đó tổng ― + bằng: Ⓐ. 8.Ⓑ. 8 + 33.Ⓒ. 8 + 33.Ⓓ. 8 + 4 33. 3 3 Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu (푆):( ― 1)2 +( ― 2)2 +( ― 3)2 = 9, điểm (0;0;2). Phương trình mặt phẳng (푃) đi qua và cắt mặt cầu (푆) theo thiết diện là hình tròn ( ) có diện tích nhỏ nhất là: Ⓐ. + 2 + 3 ― 6 = 0.Ⓑ. + 2 + ― 2 = 0. Ⓒ. 3 + 2 + 2 ― 4 = 0.Ⓓ. ― 2 + 3 ― 6 = 0. Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................
7. 2 2 2 Câu 22: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (푆):( + 1) + ( ― 4) + = 8 và hai điểm (3;0;0); (4;2;1). Gọi là điểm thuộc mặt cầu (푆). Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức + 2 Ⓐ. 2 2.Ⓑ. 4 2.Ⓒ. 6 2.Ⓓ. 3 2. Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... 2 2 Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng : 2 = 1 = 4 và mặt cầu (푆):( ― 1) + ( ― 2)2 + ( ― 1)2 = 2. Hai mặt phẳng (푃) và(푄)chứa và tiếp xúc với (푆). Gọi , là tiếp điểm. Tính độ dài đoạn thẳng . 4 Ⓐ. 2 2.Ⓑ. .Ⓒ. 6.Ⓓ. 4. 3 Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 24: Trong không gian với hệ toạ độ cho mặt cầu ( ): 2 + 2 + 2 ―2 ― 8 = 0 và điểm (1;1;5). Mặt phẳng nào sau đây đi qua điểm và cắt mặt cầu ( ) theo một hình tròn có diện tích lớn nhất? Ⓐ. (훼): ― 2 + 2 ― 9 = 0.Ⓑ. (훽): ― 2 + 2 = 0. Ⓒ. (훾): + 2 ― 2 ― 3 = 0.Ⓓ. (훿): + 2 ― + 2 = 0. Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 25: Trong không gian cho mặt cầu (푆): 2 + ( ― 1)2 + ( + 2)2 = 36 và điểm (3;1;2). Mặt phẳng nào sau đây đi qua điểm và cắt mặt cầu (푆) theo một đường tròn có chu vi nhỏ nhất? Ⓐ. (훼):3 + 4 + 17 = 0.Ⓑ. (훽):3 + 4 ― 17 = 0. Ⓒ. (훿):3 + + 2 ― 17 = 0.Ⓓ. (휸): 풙 + 풚 + 풛 + = . Lời giải
8.  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu (푆):( ― 4)2 +( ― 3)2 +( + 1)2 = 81 và điểm (3;1;1). Mặt phẳng (푃): + + + 3 = 0 đi qua và cắt mặt cầu (푆) theo giao tuyến là đường tròn ( ) có bán kính nhỏ nhất. Tính = ― 2 + 3 .( < 0) Ⓐ. = 9 Ⓑ. = ―5 Ⓒ. = 8 Ⓓ. = 10 Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 27: Trong không gian , cho mặt cầu (푆): 2 +( ― 2)2 +( + 3)2 = 24 cắt mặt phẳng (푃): + = 0 theo giao tuyến đường tròn ( ). Tìm hoành độ của điểm M thuộc đường tròn (C) sao cho khoảng cách từ M đến (6; ― 10;3) lớn nhất. Ⓐ. ―4 Ⓑ. -1Ⓒ. 2Ⓓ. -5 Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu (푆):( + 1)2 +( ― 4)2 + 2 = 8 và điểm (3;0;0), (4;2;1) và điểm thuộc mặt cầu (푆). Tìm giá trị nhỏ nhất của 푃 = + 2 Ⓐ. Ⓑ. ퟒ Ⓒ. Ⓓ. Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 29: Trong không gian với hệ toạ độ cho mặt cầu (푆):( ― 1)2 +( ― 2)2 +( ― 3)2 = 9 và điểm (0;0;2). Mặt phẳng (푃) nào sau đây đi qua điểm và cắt mặt cầu (S) theo một hình tròn có diện tích nhỏ nhất? Ⓐ. 풙 + 풚 + 풛 ― = Ⓑ. 풙 + 풚 + 풛 ― = Ⓒ. 풙 + 풚 + 풛 ― ퟒ = Ⓓ. 풙 ― 풚 + 풛 ― =
9. Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 30: Trong không gian với hệ tọa độ , gọi (푃) là mặt phẳng song song với mặt phẳng ( ) và cắt mặt cầu (푆):( ― 1)2 +( + 2)2 + 2 = 12 theo đường tròn có chu vi lớn nhất. Phương trình của (푃) là Ⓐ. 풙 ― 풚 + = Ⓑ. 풚 ― = Ⓒ. 풚 + = Ⓓ. 풚 + = Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 31: Trong không gian với hệ tọa độ , cho tam giác với (2;3;4), ( ― 2; ― 3;0), (2;3;0). Gọi là tâm mặt cầu đi qua 3 điểm của tam giáⒸ. Tìm để mặt cầu có bán kính nhỏ nhất Ⓐ. (0;0;2) Ⓑ. (2;3;2) Ⓒ. (0;0;0) Ⓓ. ( ― 2;3;2) Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 32: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu (푆):( ― 3)2 +( + 2)2 +( ― 1)2 = 100 và mặt phẳng (푃):2 ― 2 ― + 9 = 0.Tìm trên mặt cầu (푆) sao cho khoảng cách từ đến (푃) lớn nhất Ⓐ. 푴 ; ; Ⓑ. 11 ; 14 ; 13 Ⓒ. 29 ; 26 ; 7 Ⓓ. 29 ; 26 ; 7 3 3 3 3 3 3 3 3 3 Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 33: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu (푆): 2 + 2 + 2 ―2 + 2 ― 2 = 0 và điểm (0;1;1), (1;0; ― 3), ( ― 1; ― 2; ― 3). Tìm tọa độ điểm trên (푆) sao cho tứ diện có thể tích lớn nhất Ⓐ. 푫 ; ퟒ ; Ⓑ. 푫( ; ; ) Ⓒ. 푫 ; ퟒ ; Ⓓ. 푫( ; ― ; ) Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................
10. ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 34: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho mặt cầu (푆1) có tâm (2;1;1) và bán kính bằng 4, cho mặt cầu (푆2) có tâm 퐽(2;1;5) và bán kính bằng 2. Gọi (푃) là mặt phẳng tiếp xúc với hai mặt cầu (푆1);(푆2). Đặt , lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ đến (푃). Giá trị + bằng Ⓐ. 8 3.Ⓑ. 8.Ⓒ. 9.Ⓓ. 15. Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................... Câu 35: Trong không gian , cho mặt cầu (푆):( ― 1)2 + ( ― 2)2 + ( ― 3)2 = 16 và các điểm (1;0;2), ( ―1;2;2). Gọi (푃) là mặt phẳng đi qua hai điểm , sao cho thiết diện của (푃) với mặt cầu (푆) có diện tích nhỏ nhất. Khi viết phương trình (푃) dưới dạng (푃) : + + + 3 = 0. Tính = + + . Ⓐ. 3.Ⓑ. ―3.Ⓒ. 0.Ⓓ. ―2. Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................