Bài tập ôn tập môn Toán Lớp 12 - Chuyên đề 15: Phương pháp tích phân - Năm học 2021-2022 (Kèm đáp án)

Nội dung text: Bài tập ôn tập môn Toán Lớp 12 - Chuyên đề 15: Phương pháp tích phân - Năm học 2021-2022 (Kèm đáp án)

1. Chuyên đề ⑮ PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN Ⓐ KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM  Ghi nhớ ➊  Phương pháp đổi biến số: b  Để tính tích phân I = ò f (x)dx nếu ( ) = [ ( )]. ′( ), ta có thể thực hiện phép đổi a biến như sau: Bước 1. Đặt t = u(x)Þ dt = u¢(x)dx. 풙 = ⇒풕 = 풖( ) Bước 2. Đổi cận: 풙 = ⇒풕 = 풖( ). u(b) u(b) Bước 3. Thay vào, ta có I = ò g(t)dt = G(t) . u(a) u(a) Dấu hiệu nhận biết và cách đổi biến Dấu hiệu Có thể đặt Ví dụ 3 3  = ∫ . Đặt 푡 = + 1 0 ☞ ① Có 푡 = 1 1  = ∫ . ☞Đặt 푡 = ― 1 ② Có 푡 = + 0 푒푡 푛 +3  = ∫4 . ☞Đặt 푡 = 푡 푛 +3 0 2 ③ Có 푡 = 표푠 푒 푙푛  = ∫ . ☞Đặt 푡 = 푙푛 +1 푡 = 푙푛 hoặc biểu thức 1 ④ Có 푣à푙푛 chứa 푙푛 푙푛 2 2  = ∫ 푒 3푒 + 1 .☞ Đặt 푡 = 3푒 + 1 푡 = 푒 hoặc biểu thức 0 Có 푒 ⑤ chứa 푒  = ∫2 푠푖푛3 표푠 . ☞Đặt 푡 = 푠푖푛 ⑥ Có 푠푖푛 푡 = 표푠 0 3  = ∫ 푠푖푛 . Đặt 푡 = 2 표푠 +1 0 ☞ ⑦ Có 표푠 푡 = 푠푖푛 2 표푠 1 1 1  = ∫4 = ∫4 0 표푠4 0 표푠2 ⑧ 푡 = 푡 푛 Có 표푠2 ☞Đặt 푡 = 푡 푛 푒 표푡 푒 표푡  = ∫ 4 = ∫ . 2 6 1 표푠 2 2 푠푖푛 ⑨ Có 2 푡 = 표푡 푠푖푛 ☞Đặt 푡 = 표푡
2.  Ghi nhớ ❷ Phương pháp từng phần:  Cho hai hàm số và 푣 liên tục trên [ ; ] và có đạo hàm liên tục trên [ ; ]. b b b  Khi đó: òudv = uv - òvdu. a a a  Một số tích phân các hàm số dễ phát hiện và dv b b b Đặt 푃.푒 P(x).cos xdx P(x).sin xdx P(x).l n xdx a a a u P P P lnx dv 푒 cos xdx sin xdx P Ghi nhớ: đặt theo quy tắc ′′nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ′′. Ⓑ BÀI TẬP RÈN LUYỆN Câu 1. Tính tích phân I cos3 x.sin xdx . 0 1 1 Ⓐ. I 4 Ⓑ. I 4 Ⓒ. I 0 Ⓓ. I 4 4 Lời giải  ................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... 4 2 Câu 2. Cho f (x)dx 16 . Tính I f (2x)dx 0 0 Ⓐ. I 32 .Ⓑ. I 8 .Ⓒ. I 16 .Ⓓ. I 4 Lời giải  ................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... 2 Câu 3. Tính tích phân = ∫ 2 2 ― 1 bằng cách đặt = 2 ―1, mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 1 Ⓐ. = 2 3 Ⓑ. = 2 Ⓒ. = 3 Ⓓ. = 2 ∫0 ∫1 ∫0 2∫1 Lời giải  ................................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................
3. 6 2 Câu 4. Cho ∫ ( ) = 12. Tính = ∫ (3 ) . 0 0 Ⓐ. = 6 Ⓑ. = 36 Ⓒ. = 2 Ⓓ. = 4 Lời giải  ................................................................................................................................................................... 2 2 2 2 Câu 5. Xét ∫ 푒 , nếu đặt = 2 thì ∫ 푒 bằng 0 0 4 1 1 4 Ⓐ. 2 2 .Ⓑ. 2 .Ⓒ. 2 .Ⓓ. . ∫0 푒 ∫0 푒 2∫0 푒 2∫0 푒 Lời giải  ................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... e Câu 6. Tính tích phân I x ln xdx : 1 1 e2 2 e2 1 e2 1 Ⓐ. I Ⓑ. I Ⓒ. I Ⓓ. I 2 2 4 4 Lời giải  ................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... 4 Câu 7. Biết = ∫ = 푙푛 2 + 푙푛 3 + 푙푛 5 , với , , là các số nguyên. Tính 푆 = + + . 3 2 Ⓐ. 푆 = 6.Ⓑ. 푆 = 2.Ⓒ. 푆 = ―2.Ⓓ. 푆 = 0. Lời giải  ................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... 푒 Câu 8. Cho ∫ (2 + 푙푛 ) = 푒2 + 푒 + với , , là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 Ⓐ. + = ― .Ⓑ. + = .Ⓒ. ― = .Ⓓ. ― = ― . Lời giải  ................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... 1 Câu 9. Cho ∫ = + 푙푛 2 + 푙푛 3 với , , là các số hữu tỷ. Giá trị của3 + + bằng 0 ( 2)2 Ⓐ. ―2.Ⓑ. ―1.Ⓒ. 2.Ⓓ. 1. Lời giải 1 1 1 1 #∫ = ∫ ( 2) 2 = ∫ ― ∫ 2 0 ( 2)2 0 ( 2)2 0 2 0 ( 2)2
4. 1 1 ( 2)―1 2 1 = 푙푛( + 2)|0 ― 2. = 푙푛 3 ― 푙푛 2 + ―1 = ― ― 푙푛 2 + 푙푛 3. 1 |0 3 3 1 Vậy = ― 3; = ―1; = 1⇒3 + + = ―1.$ 2 Câu 10. Cho = ∫ 2 2 ― 1 và = 2 ―1. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau: 1 3 2 3 2 Ⓐ. = 2 .Ⓑ. = 27.Ⓒ. = ∫ .Ⓓ. = ∫ . 3 |0 3 0 1 Lời giải  ................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... 3 Câu 11. Tính 퐾 = ∫ . 2 2 1 1 Ⓐ. 퐾 = 푙푛 2.Ⓑ. 퐾 = 푙푛 8.Ⓒ. 퐾 = 2푙푛 2.Ⓓ. 퐾 = 푙푛 8. 2 3 3 Lời giải  ................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... 1 Câu 12. Tích phân = ∫ 2 3 + 5 có giá trị là 0 Ⓐ 4 10 Ⓑ 4 10 Ⓒ 4 10 Ⓓ 2 10 . 3 6 ― 9 5. . 3 6 ― 9 3. . 3 7 ― 9 5. . 3 6 ― 9 5. Lời giải  ................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... 9 4 Câu 13. Biết ( )là hàm liên tục trên ℝ và ∫ ( ) = 9. Khi đó giá trị của ∫ (3 ― 3) là 0 1 Ⓐ. 0.Ⓑ. 27.Ⓒ. 3.Ⓓ. 24. Lời giải  ................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... 푙푛 Câu 14. Cho 퐹( ) là một nguyên hàm của hàm số ( ) = . Tính 퐹(푒) ―퐹(1). Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ . 푰 = 풆. . 푰 = . . 푰 = . . 푰 = 풆. Lời giải  ................................................................................................................................................................... Câu 15. Xét = ∫ 3(4 4 ― 3)5 . Bằng cách đặt = 4 4 ―3. Khi đó bằng Ⓐ 1 5 Ⓑ 1 5 Ⓒ 5 Ⓓ 1 5 . 4∫ . . 12∫ . . ∫ . . 16∫ .
5. Lời giải  ................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 16. Cho tích phân = 1 3 . Với cách đặt 푡 = 3 ta được ∫0 1 ― 1 ― 1 1 1 1 Ⓐ. = 3∫ 푡3 푡 = 3∫ 푡2 푡.Ⓒ. = ∫ 푡3 푡 = 3∫ 푡 푡 0 .Ⓑ. 0 0 . Ⓓ. 0 . Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... 푒 Câu 17. Tích phân ∫ 푙푛 bằng 1 1 2 2 1 Ⓐ. .Ⓑ. 푒 1.Ⓒ. 푒 1.Ⓓ. . 2 2 2 ― 2 Lời giải  ................................................................................................................................................................... 1 2 Câu 18. Biết rằng ∫ 푒 +2 = (푒 ― 푒 ) với , , ∈ ℤ. Giá trị của + + bằng 0 2 Ⓐ. 4.Ⓑ. 7.Ⓒ. 5.Ⓓ. 6. Lời giải  ................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ―1 1 Câu 19. Cho ∫ ( + 1) = ―3. Giá trị của ∫ ( ― 1) bằng ―2 0 Ⓐ Ⓑ Ⓒ 3 Ⓓ . ―2. . ―3. . ― 2. . 1. Lời giải  ................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... 5 2 Câu 20. Cho = ∫ ( ) = 26.Khi đó 퐽 = ∫ ( 2 + 1) + 1 bằng 1 0 Ⓐ. 13.Ⓑ. 52.Ⓒ. 54.Ⓓ. 15. Lời giải  ................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... 3 Câu 21. Cho ∫ 푙푛 = ⋅ 푙푛 3 ― ⋅ 푙푛 2 với , , ∈ ℕ ∗ và phân số tối giản. Giá trị của + + 1 ( 1)2 bằng Ⓐ. .Ⓑ. .Ⓒ. .Ⓓ. .
6. Lời giải  ................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... 1 Câu 22. Tích phân ∫ ( ― 2)푒2 bằng 0 2 2 2 2 Ⓐ. 5 3푒 Ⓑ. 5 3푒 Ⓒ. 5 3푒 Ⓓ. 5 3푒 4 . 4 . 2 . 4 . Lời giải  ................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... 2 3 3 Câu 23. Cho ∫ ( ) = ―3 và ∫ ( ) = 4. Khi đó ∫ ( ) bằng 1 2 1 Ⓐ. 12.Ⓑ. 7.Ⓒ. 1.Ⓓ. ―12. Lời giải 3 2 3 # = + = ―3 + 4 = 1.$ ∫1 ( ) ∫1 ( ) ∫2 ( ) 6 3 Câu 24. Cho hàm số ( ) liên tục trên ℝ và f x dx 10 , thì f 2x dx bằng 0 0 Ⓐ. 30.Ⓑ. 20.Ⓒ. 10.Ⓓ. 5. Lời giải  ................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... 5 2 Câu 25. Cho hàm số = ( ) liên tục trên tập ℝ và ∫ ( ) = 12. Giá trị tích phân = ∫ (2 + 1) 3 1 bằng Ⓐ. 8.Ⓑ. 12.Ⓒ. 4.Ⓓ. 6. Lời giải  ................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................