Bài tập ôn tập môn Toán Lớp 12 - Chuyên đề 14: Nguyên hàm - Năm học 2021-2022 (Kèm đáp án)

Nội dung text: Bài tập ôn tập môn Toán Lớp 12 - Chuyên đề 14: Nguyên hàm - Năm học 2021-2022 (Kèm đáp án)

1. Chuyên đề ⑭ NGUYÊN HÀM Ⓐ KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM ❖ Ghi nhớ  Định nghĩa:  Cho hàm số ( ) xác định trên 퐾 (퐾 là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số 퐹( ) được gọi là nguyên hàm của hàm số ( ) trên 퐾 nếu 퐹′( ) = ( ) với mọi ∈ 퐾. Định lí:  Nếu 퐹( ) là một nguyên hàm của hàm số ( ) trên 퐾 thì với mỗi hằng số , hàm số ( ) = 퐹( ) + cũng là một nguyên hàm của ( ) trên 퐾.  Nếu 퐹( ) là một nguyên hàm của hàm số ( ) trên 퐾 thì mọi nguyên hàm của ( ) trên 퐾 đều có dạng 퐹( ) + , với là một hằng số.  Do đó 퐹( ) + , ∈ ℝ là họ tất cả các nguyên hàm của ( ) trên 퐾.  Ký hiệu ∫ ( ) = 퐹( ) + . ❖ Ghi nhớ ❷ Tính chất của nguyên hàm  Tính chất 1: ∫ ( ) ′ = ( ) và ∫ ′( ) = ( ) +  Tính chất 2: ∫ ( ) = ∫ ( ) với là hằng số khác 0.  Tính chất 3: ∫[ ( ) ± ( )] = ∫ ( ) ± ∫ ( ) Sự tồn tại của nguyên hàm  Định lí: Mọi hàm số ( ) liên tục trên 퐾 đều có nguyên hàm trên 퐾. ❖ Ghi nhớ ❸ Nguyên hàm của hàm số đơn giản Nguyên hàm của hàm số hợp (풖 = 풖(풙)) ∫ = + ∫ = + 훼 1 훼+1 훼 1 훼+1 ∫ = + (훼 ≠ ―1) ∫ = + (훼 ≠ ―1) 훼 1 훼 1 1 1 ∫ = 푙푛| | + ∫ = 푙푛| | + ∫ 푒 = 푒 + ∫ 푒 = 푒 + ∫ = + ( > 0, ≠ 1) ∫ = + ( > 0, ≠ 1) 푙푛 푙푛 Hàm số lượng giác ∫ 푠푖푛 dx = ― 표푠 + ∫ 푠푖푛 du = ― 표푠 +
2. ∫ 표푠 dx = 푠푖푛 + ∫ 표푠 du = 푠푖푛 + 1 1 ∫ = 푡 푛 + ∫ = 푡 푛 + 표푠2 표푠2 1 1 ∫ = ― 표푡 + ∫ = ― 표푡 + 푠푖푛2 푠푖푛2 ❖ Ghi nhớ ❹ ①. Phương pháp đổi biến số: Định lý: Cho hàm số = ( ) có đạo hàm liên tục trên 퐾 và hàm số = ( ) liên tục sao cho [ ( )] xác định trên 퐾. Khi đó nếu 퐹 là một nguyên hàm của , tức là ò f (u)du = F (u)+ C thì é ù ¢ é ù ò f ëu(x)ûu (x)dx = F ëu(x)û+ C. é ù ¢ é ù Ghi nhớ: ò f ëu(x)ûu (x)dx = ò f ëu(x)ûdu(x)= ò f (u)du = 퐹( ) + = 퐹[ ( )] + . Với = ( ). ②. Phương pháp từn phần: Định lý: Nếu , 푣 là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên 퐾 thì u(x)v¢(x)dx = u(x)v(x)- v(x)u¢(x)dx. ò ò Ghi nhớ: Công thức trên viết gọn dưới dạng òudv = uv - òvdu. Ⓑ BÀI TẬP RÈN LUYỆN Câu 1. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) = 표푠 2 . Ⓐ Ⓑ . ∫ 풇(풙)풅풙 = 풔풊풏 풙 + 푪 . ∫ 풇(풙)풅풙 = ― 풔풊풏 풙 + 푪 Ⓒ. ∫ 풇(풙)풅풙 = 풔풊풏 풙 + 푪 Ⓓ. ∫ 풇(풙)풅풙 = ― 풔풊풏 풙 + 푪 Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 2. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) = 표푠 3 Ⓐ. ∫ 풐풔 풙풅풙 = 풔풊풏 풙 + 푪 Ⓑ. ∫ 표푠 3 = 푠푖푛 3 + 3 Ⓒ. ∫ 풐풔 풙풅풙 = 풔풊풏 풙 + 푪 Ⓓ. ∫ 풐풔 풙풅풙 = 풔풊풏 풙 + 푪 Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... 1 Câu 3. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) = 5 2.
3. Ⓐ. ∫ = 1 푙푛|5 ― 2| + Ⓑ. ∫ = ― 1 푙푛( 5 ― 2) + 5 2 5 5 2 2 Ⓒ. ∫ = 5 푙푛|5 ― 2| + Ⓓ. ∫ = 푙푛|5 ― 2| + 5 2 5 2 Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 4. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) = 2푠푖푛 . Ⓐ. ∫ 2 푠푖푛 = 2 표푠 + .Ⓑ. ∫ 2 푠푖푛 = 푠푖푛2 + . Ⓒ. ∫ 2 푠푖푛 = 푠푖푛 2 + .Ⓓ. ∫ 2 푠푖푛 = ―2 표푠 + . Lời giải  ..................................................................................................................................................... Câu 5. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) = 7 . 7 Ⓐ 풙 풙 Ⓑ . ∫ 풅풙 = 풍풏 +푪 . ∫ 7 = 푙푛 7 + +1 Ⓒ +1 Ⓓ 7 . ∫ 7 = 7 + . ∫ 7 = 1 + Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 6. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) 3x2 1 là x3 Ⓐ. x3 C Ⓑ. x C Ⓒ. 6x C Ⓓ. x3 x C 3 Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 7. Nguyên hàm của hàm số ( ) = 3 + là Ⓐ 4 2 Ⓑ 2 Ⓒ 3 Ⓓ 1 4 1 2 . + + . . 3 +1 + . . + + . . 4 + 2 + . Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 8. Họ nguyên hàm của hàm số ( ) = 푒 + là Ⓐ 2 Ⓑ 1 2 . 푒 + + . . 푒 + 2 + . Ⓒ 1 1 2 Ⓓ . 1푒 + 2 + . . 푒 +1 + .
4. Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 9. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số ( ) = 2 + 5 là Ⓐ. 2 +5 + . Ⓑ. 2 2 +5 + . Ⓒ. 2 2 + . Ⓓ. 2 + . Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 10. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số ( ) = 2 + 6 là Ⓐ. 2 +6 + .Ⓑ. 2 2 + .Ⓒ. 2 2 +6 + .Ⓓ. 2 + . Lời giải Chọn A ∫(2 + 6) = 2 + 6 + .$ Câu 11. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số ( ) = 2 + 3 là Ⓐ. 2 2 + .Ⓑ. 2 +3 + .Ⓒ. 2 2 +3 + .Ⓓ. 2 + . Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 12. Họ nguyên hàm của hàm số ( ) = 표푠 +6 là Ⓐ. 푠푖푛 +3 2 + .Ⓑ. ― 푠푖푛 +3 2 + .Ⓒ. 푠푖푛 +6 2 + .Ⓓ. ― 푠푖푛 + . Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 13. ∫ 2 bằng Ⓐ Ⓑ 1 3 Ⓒ 3 Ⓓ 3 . 2 + . . 3 + . . + . . 3 + . Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 14. ∫ 3 bằng Ⓐ 4 Ⓑ 2 Ⓒ 4 Ⓓ 1 4 . 4 + . . 3 + . . + . . 4 + . Lời giải
5.  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 15. ò x 4dx bằng Ⓐ 1 5 Ⓑ 3 Ⓒ 5 Ⓓ 5 . 5 + . . 4 + . . + . . 5 + . Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 16. ∫ 5 4 bằng Ⓐ 1 5 Ⓑ 5 Ⓒ 5 Ⓓ 3 . 5 + . . + . . 5 + . . 20 + . Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 17. ∫ 6 5 bằng Ⓐ 6 Ⓑ 6 Ⓒ 1 6 Ⓓ 4 . 6 + . . + . . 6 + . . 30 + . Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 18. ∫ 3 2 bằng Ⓐ 3 Ⓑ Ⓒ 1 3 Ⓓ 3 . 3 + . . 6 + . . 3 + . . + . Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 19. ∫ ퟒ풙 풅풙 bằng Ⓐ 4 Ⓑ 1 4 Ⓒ 2 Ⓓ 4 . 4 + . . 4 + . . 12 + . . + . Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 20. Cho hàm số ( ) = 3 2 ― 1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? Ⓐ. ∫ ( ) = 3 3 ― + .Ⓑ. ∫ ( ) = 3 ― + . Ⓒ 1 3 Ⓓ 3 . ∫ ( ) = 3 ― + . . ∫ ( ) = ― .
6. Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 21. Cho hàm số ( ) = 표푠 2 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? 1 Ⓐ. ∫ ( ) = 푠푖푛 2 + .Ⓑ. ∫ ( ) = ― 1 푠푖푛 2 + . 2 2 Ⓒ. ∫ ( ) = 2푠푖푛 2 + .Ⓓ. ∫ ( ) = ― 2푠푖푛 2 + . Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 22. Cho hàm số ( ) = 2 +4. Khẳng định nào dưới đây đúng? Ⓐ. ∫ ( ) = 2 + .Ⓑ. ∫ ( ) = 2 + 4 + . 3 Ⓒ. ∫ ( ) = + 4 + .Ⓓ. ∫ ( ) = 3 + 4 + . 3 Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 23. Cho hàm số ( ) = 푒 +2. Khẳng định nào dưới đây đúng? Ⓐ. f (x)dx ex 2 C .Ⓑ. f (x)dx ex 2x C . Ⓒ. f (x)dx ex C .Ⓓ. f (x)dx ex 2x C . Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 24. Cho hàm số ( ) = 2 +3. Khẳng định nào dưới đây đúng? 3 Ⓐ. 2 .Ⓑ. . ∫ ( ) = +3 + ∫ ( ) = 3 +3 + Ⓒ. ∫ ( ) = 3 +3 + .Ⓓ. ∫ ( ) = 2 + . Lời giải  ..................................................................................................................................................... Câu 25. Cho hàm số ( ) = 푒 +1. Khẳng định nào dưới đây đúng? Ⓐ. ∫ ( ) = 푒 ―1 + .Ⓑ. ∫ ( ) = 푒 ― + . Ⓒ. ∫ ( ) = 푒 + + .Ⓓ. ∫ ( ) = 푒 + . Lời giải
7.  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 26. Cho hàm số ( ) = 2 +1. Khẳng định nào dưới đây đúng? 3 Ⓐ. 3 .Ⓑ. . ∫ ( ) = + + ∫ ( ) = 3 + + Ⓒ. ∫ ( ) = 2 + + .Ⓓ. ∫ ( ) = 2 + . Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 27. Cho hàm số ( ) = 푒 +3. Khẳng định nào dưới đây đúng? Ⓐ. ∫ ( ) = 푒 +3 + .Ⓑ. ∫ ( ) = 푒 + . Ⓒ. ∫ ( ) = 푒 ―3 + .Ⓓ. ∫ ( ) = 푒 ― 3 + . Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 28. Cho hàm số ( ) = 2 +2. Khẳng định nào dưới đây đúng? 3 Ⓐ. ∫ ( ) = 2 + .Ⓑ. ∫ ( ) = + 2 + . 3 Ⓒ. ∫ ( ) = 2 + 2 + .Ⓓ. ∫ ( ) = 3 + 2 + . Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 29. Cho hàm số ( ) = 푒 +4. Khẳng định nào sau đây đúng? Ⓐ. f (x)dx ex 4x C .Ⓑ. f (x)dx ex C . Ⓒ. f (x)dx ex 4 C .Ⓓ. f (x)dx ex 4x C . Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 30. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) = 2 ― 1. Ⓐ. ∫ ( ) = 2 (2 ― 1) 2 ― 1 + . Ⓑ. ∫ ( ) = 1 (2 ― 1) 2 ― 1 + . 3 3 Ⓒ. ∫ ( ) = ― 1 2 ― 1 + . Ⓓ. ∫ ( ) = 1 2 ― 1 + . 3 2 Lời giải  .....................................................................................................................................................
8. ......................................................................................................................................................... 2 2 Câu 31. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) = + 2. 3 2 3 1 Ⓐ. .Ⓑ. . ∫ ( ) = 3 ― + ∫ ( ) = 3 ― + 3 2 3 1 Ⓒ. .Ⓓ. . ∫ ( ) = 3 + + ∫ ( ) = 3 + + Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 32. Nguyên hàm của hàm số ( ) = 4 + là Ⓐ 4 Ⓑ Ⓒ Ⓓ . + + . ퟒ풙 + + 푪. . 풙 + 풙 +푪. . 풙 + 풙 +푪. Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 33. Nguyên hàm của hàm số ( ) = 4 + 2 là Ⓐ 3 Ⓑ 1 5 1 3 Ⓒ 4 2 Ⓓ 5 3 . 4 +2 + . . 5 + 3 + . . + + . . + + . Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 34. Nguyên hàm của hàm số ( ) = 3 + 2 là Ⓐ 4 3 Ⓑ 1 4 1 3 Ⓒ 2 Ⓓ 3 2 . + + . . 4 + 3 + . . 3 +2 + . . + + . Lời giải  ..................................................................................................................................................... Câu 35. Họ tất cả nguyên hàm của hàm số ( ) = 2 + 4 là Ⓐ. 풙 +ퟒ풙 + 푪.Ⓑ. 풙 +ퟒ풙 + 푪.Ⓒ. 풙 +푪.Ⓓ. 풙 +푪. Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... 2 Câu 36. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số ( ) = 1 trên khoảng (1; + ∞) là Ⓐ. + 3푙푛( ― 1) + . Ⓑ. ― 3푙푛( ― 1) + . 3 3 Ⓒ. ― ( 1)2 + . Ⓓ. + ( 1)2 + .
9. Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 37. ∫ 5 bằng Ⓐ 4 Ⓑ 1 6 Ⓒ 6 Ⓓ 6 . 5 + . . 6 + . . + . . 6 + . Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... 1 Câu 38. Biết 퐹( ) là một nguyên hàm của ( ) = 1 và 퐹(2) = 1. Tính 퐹(3). Ⓐ Ⓑ Ⓒ 1 Ⓓ 7 . 퐹(3) = 푙푛 2 ― 1 . 퐹(3) = 푙푛 2 +1 . 퐹(3) = 2 . 퐹(3) = 4 Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... Câu 39. Cho hàm số ( ) thỏa mãn ′( ) = 3 ― 5푠푖푛 và (0) = 10. Mệnh đề nào dưới đây đúng? Ⓐ. ( ) = 3 + 5 표푠 +5 Ⓑ. ( ) = 3 + 5 표푠 +2 Ⓒ. ( ) = 3 ― 5 표푠 +2 Ⓓ. ( ) = 3 ― 5 표푠 +15 Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... 3 Câu 40. Cho 퐹( ) là một nguyên hàm của hàm số ( ) = 푒 +2 thỏa mãn 퐹(0) = 2. Tìm 퐹( ). Ⓐ 2 3 Ⓑ 2 1 . 퐹( ) = 푒 + + 2. . 퐹( ) = 2푒 + ― 2. 5 1 Ⓒ. 2 Ⓓ. 2 퐹( ) = 푒 + + 2. 퐹( ) = 푒 + + 2. Lời giải  ..................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................